f(x) = x · e²ˣ 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = x · e²ˣ 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 0。

题目

$f (x) = x \cdot e^{2 x}, F (0) = 0$

应用分部积分公式：

\int u d v = u v - \int v d u

令 u = x（则 du = dx），dv = e²ˣ dx（则 v = e²ˣ/2）：

u = x, d u = d x

d v = e^{2 x} d x, v = \frac{1}{2} e^{2 x}

代入分部积分公式：

\int x e^{2 x} d x = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x

计算剩余的积分，得到原函数的一般表达式：

F (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C

从条件 F(0) = 0 求出常数 C。将 x = 0 代入：e⁰ = 1，因此：

F (0) = 0 - \frac{1}{4} + C = 0

由此 C = 1/4。所求的原函数为：

$F (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{4}$

常见问题

如何求 f(x) = x · e²ˣ 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = x（多项式微分后降次），dv = e²ˣ dx（容易积分到 e²ˣ/2）。

为什么本题中取 u = x？

在分部积分中，通常取 u 为多项式（此处为 x），取 dv 为指数函数。微分后 x 变为 1，剩余的积分变为表格形式：∫ e²ˣ dx。

为什么 v = e²ˣ/2，而不是 e²ˣ？

因为 ∫ e²ˣ dx = e²ˣ/2。验证：e²ˣ/2 的导数为 e²ˣ · 2/2 = e²ˣ。因子 1/2 来自指数中 x 的系数。

什么情况下使用分部积分法？

当被积表达式是不同类型函数的乘积时：多项式 × 指数函数、多项式 × 三角函数、指数函数 × 三角函数、对数、反三角函数。经典特征是积分不能直接求出，但应用公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du 后可以简化。