f(x) = sin³ x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = sin³ x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(π/2) = 0。

题目

$f (x) = {sin}^{3} x, F (π / 2) = 0$

将 sin³ x 表示为乘积 sin² x · sin x。这样可以分离出因子 sin x，它是 cos x 的导数（差一个符号）。

{sin}^{3} x = {sin}^{2} x \cdot sin x

注意到 d(cos x) = −sin x dx，即 sin x dx = −d(cos x)。这样可以把 sin x 移到微分号内。

d (cos x) = - sin x d x

将原积分改写，分离出因子 sin² x，并将 sin x dx 替换为 −d(cos x)：

\int {sin}^{3} x d x = \int {sin}^{2} x sin x d x = - \int {sin}^{2} x d (cos x)

应用基本三角恒等式：

{sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x

将此表达式代入积分：

- \int (1 - {cos}^{2} x) d (cos x)

积分分为两个表格积分：∫ dt = t 和 ∫ t² dt = t³/3。回到变量 x，得到：

- cos x + \frac{{cos}^{3} x}{3} + C

从条件 F(π/2) = 0 求出常数 C。将 x = π/2 代入：cos(π/2) = 0，因此：

- cos \frac{π}{2} + \frac{{cos}^{3} \frac{π}{2}}{3} + C = 0

由此 C = 0。所求的原函数为：

$F (x) = - cos x + \frac{{cos}^{3} x}{3}$

常见问题

如何求 f(x) = sin³ x 的原函数？

将 sin³ x 表示为 sin² x · sin x，把 sin x 移到微分号内（因为 d(cos x) = −sin x dx，即 sin x dx = −d(cos x)），并应用基本三角恒等式 sin² x = 1 − cos² x。此时积分化为关于 cos x 的表格形式。

为什么需要基本三角恒等式？

它可以把 sin² x 用 cos x 表示：sin² x = 1 − cos² x。这是必要的，因为换元 t = cos x 之后，积分只含变量 t 并成为表格形式。

为什么本题中 C = 0？

由条件 F(π/2) = 0 得到。当 x = π/2 时：cos(π/2) = 0，cos³(π/2) = 0，因此两项都变为零。所以 C = 0。

积分正弦奇数次幂有什么特殊之处？

对于 sin x（或 cos x）的奇数次幂，使用如下技巧：分离出一个 sin x（或 cos x）因子并移到微分号内，再用基本三角恒等式将剩余的偶次幂用相反函数表示。对于 sin x 使用 d(cos x) = −sin x dx；对于 cos x 使用 d(sin x) = cos x dx。