f(x) = arccos 3x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = arccos 3x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 0。

题目

$f (x) = arccos 3 x, F (0) = 0$

被积表达式 arccos 3x 是反三角函数。这类积分使用分部积分法求解。

\int u d v = u v - \int v d u

将被积表达式 arccos 3x dx 分为两部分：u = arccos 3x 和 dv = dx。此时 du = −3/√(1−9x²) dx，v = x。

u = arccos 3 x, d u = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x

d v = d x, v = x

代入分部积分公式。du 中的负号使剩余积分前出现正号：

\int arccos 3 x d x = x \cdot arccos 3 x + \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x

为计算剩余的积分，将因子 3x 移到微分号内。注意到 d(1−9x²) = −18x dx，因此 3x dx = −(1/6) d(1−9x²)。此时积分化为表格形式：

\int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = - \frac{1}{6} \int \frac{d (1 - 9 x^{2})}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}}

因此，原函数的一般表达式为：

F (x) = x \cdot arccos 3 x - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}} + C

从条件 F(0) = 0 求出常数 C。当 x = 0 时：arccos 0 = π/2，但 x·arccos 3x = 0，√(1−0) = 1，因此：

F (0) = 0 - \frac{1}{3} \sqrt{1} + C = 0

由此 C = 1/3。所求的原函数为：

$F (x) = x \cdot arccos 3 x - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}} + \frac{1}{3}$

常见问题

如何求 f(x) = arccos 3x 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = arccos 3x（反三角函数，微分后简化），dv = dx（则 v = x）。

为什么 du = −3/√(1−9x²) dx？

根据复合函数求导法则：(arccos u)′ = −u′/√(1−u²)。这里 u = 3x，所以 u′ = 3，(3x)² = 9x²。因此 du = −3/√(1−9x²) dx。

如何计算积分 ∫ 3x/√(1−9x²) dx？

注意到 d(1−9x²) = −18x dx，所以 3x dx = −(1/6) d(1−9x²)。积分化为 −(1/6) ∫ dt/√t，其中 t = 1−9x²。表格积分 ∫ dt/√t = 2√t。因此得到 −(1/3)·√(1−9x²)。

为什么本题中 C = 1/3？

由条件 F(0) = 0 得到。当 x = 0 时：0·arccos 0 = 0，√(1−0) = 1，因此 F(0) = 0 − 1/3 + C = 0，从而 C = 1/3。