从 0 到 1 的 x/(x+1)² 定积分

本题要求计算分母有重根的有理函数的定积分。

题目

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

分母是完全平方：

为什么分母有重根？

二次三项式 x² + 2x + 1 的判别式为零：D = 4 − 4 = 0。这意味着该二次式有唯一（二重）根 x = −1，分母分解为 (x + 1)²。此时称根为重复的（重的），部分分式分解有其特殊性。

{(x + 1)}^{2}

由于分母有重根，部分分式分解形式为：

重根情况下如何分解为部分分式？

如果一次因式 (x − a) 重复 k 次，则对应 k 个部分分式之和，分母分别为不同次幂：A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ。本题分母为 (x + 1)²，因此分解为 A/(x + 1) + B/(x + 1)²。

\frac{x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}

通分并令分子相等：

A (x + 1) + B = x

由此得到 A = 1，B = −1。

将分解式代入积分：

\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}) d x

积分：∫ 1/(x+1) dx = ln|x+1|，∫ 1/(x+1)² dx = −1/(x+1)。应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{0}^{1} ln | x + 1 | + \frac{1}{x + 1}

代入上下限。ln 1 = 0，因此得 ln 2 + 1/2 − 1 = ln 2 − 1/2。

$ln 2 - \frac{1}{2}$

常见问题

什么是分母的重根？

这是指二次三项式（或其因式）的判别式等于零，可以写成 (x − a)²。此时根 x = a 称为二重根。在部分分式分解中，重根需要不止一个分式，而是具有递增次幂的多个分式。

为什么分解中出现两个项？

因为分母 (x + 1)² 是重根。分母中每个因式对应一个部分分式，若因式重复 k 次，则对应 k 个分母分别为 (x + 1)、(x + 1)²、…、(x + 1)ᵏ 的部分分式。本题中 k = 2。

如何求系数 A 和 B？

使用待定系数法。通分后令分子相等：A(x + 1) + B = x。令 x 的系数和常数项分别相等：A = 1，A + B = 0，从而 A = 1，B = −1。另一种方法是代入 x = −1（分母的根）——得到 B = −1，再代入 x = 0——得到 A + B = 0，A = 1。

为什么 1/(x+1)² 的积分不含对数？

因为 ∫ (x + 1)⁻² dx = −(x + 1)⁻¹ = −1/(x + 1)。x + 1 的幂不等于 −1，因此公式 ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n + 1) 给出有理结果，不含对数。只有当 n = −1 时才出现对数。