从 −1 到 3 的 x/(1+√(x+1)) 定积分

本题要求计算无理函数在区间 [−1, 3] 上的定积分。

题目

$\int_{- 1}^{3} \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} d x$

被积表达式含平方根。作换元 t = √(x+1)。此时 t² = x + 1，因此 x = t² − 1，dx = 2t dt：

为什么选择换元 t = √(x+1)？

如果被积表达式含有 √(ax+b)，标准换元 t = √(ax+b) 可以消除无理式。平方后得 t² = ax+b，从而 x 用 t 的有理函数表示，dx = (2t/a) dt 也不含根号。于是积分化为有理函数的积分。

t = \sqrt{x + 1}, t^{2} = x + 1, x = t^{2} - 1, d x = 2 t d t

求新的积分上下限：

如何换算积分上下限？

换元时积分上下限需要换算。将旧的上下限代入 t = √(x+1)：当 x = −1 时，t = √0 = 0；当 x = 3 时，t = √4 = 2。因此旧区间 [−1, 3] 变为新区间 [0, 2]。

x = - 1 \Rightarrow t = 0, x = 3 \Rightarrow t = 2

将换元代入积分：

\int_{0}^{2} \frac{t^{2} - 1}{1 + t} \cdot 2 t d t

提取因子 2，将被积表达式化为：

如何化简被积函数？

被积函数形如 t(t²−1)/(t+1)。分子 t(t²−1) 可因式分解为 t(t−1)(t+1)。此时分式变为 t(t−1)(t+1)/(t+1)，因子 (t+1) 相消。结果得到简单的函数 t(t−1) = t² − t，可以逐项积分。

2 \int_{0}^{2} \frac{t (t^{2} - 1)}{t + 1} d t

将分子因式分解并约分：

\frac{t (t^{2} - 1)}{t + 1} = \frac{t (t - 1) (t + 1)}{t + 1} = t (t - 1) = t^{2} - t

逐项积分：∫ t² dt = t³/3，∫ t dt = t²/2。应用牛顿-莱布尼茨公式：

2 \int_{0}^{2} (t^{2} - t) d t = 2 [_{0}^{2} \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{2}

代入上下限 t = 2 和 t = 0。化简后得到答案。

$\frac{4}{3}$

常见问题

如何计算分母含平方根的积分？

如果被积表达式含有 √(ax+b)，作换元 t = √(ax+b)。此时 t² = ax+b，x = (t²−b)/a，dx = (2t/a) dt。这消除了根号并将积分化为有理函数，然后再积分。

如何求新的积分上下限？

将旧的 x 上下限代入 t = √(x+1)。对于下限 x = −1：t = √0 = 0。对于上限 x = 3：t = √4 = 2。得到新上下限 [0, 2]。

为什么 (t+1) 因子可以约去？

分子 t(t²−1) = t(t−1)(t+1) 含有因子 (t+1)，与分母相同。约分后剩下 t(t−1) = t² − t。约分成立是因为在 [0, 2] 上分母 t+1 ≠ 0（它仅在 t = −1 时为零，位于积分区间之外）。

如何处理形如 √(ax²+bx+c) 的无理式？

如果根号形如 √(ax²+bx+c)，使用三角或双曲换元。例如对于 √(a²−x²)——换元 x = a sin t；对于 √(a²+x²)——x = a tg t；对于 √(x²−a²)——x = a/cos t。本题中根号是一次式 (√(x+1))，因此有理换元 t = √(x+1) 即可。