从 π/6 到 π/4 的 ctg³x 定积分

本题要求计算余切立方在区间 [π/6, π/4] 上的定积分。

题目

$\int_{π / 6}^{π / 4} {ctg}^{3} x d x$

解答

步骤 1

将 ctg³x 表示为 sin 和 cos：

为什么把余切表示为正弦和余弦？

对于 ctg x（或 tg x）的奇数次幂，标准技巧是把余切表示为 cos x/sin x。这样可以分离出因子 cos x，将其移到微分号内（因为 d(sin x) = cos x dx）。随后的换元 t = sin x 将积分化为表格形式。

{ctg}^{3} x = \frac{{cos}^{3} x}{{sin}^{3} x}

步骤 2

改写积分：

如何将 cos x 移到微分号内？

我们知道 d(sin x) = cos x dx，即 cos x dx = d(sin x)。在分子中分离出一个因子 cos x 后，可以将 cos x dx 替换为 d(sin x)。此时剩余的 cos²x 和 sin³x 用 sin x 表示（利用基本三角恒等式），积分就化为关于 sin x 的幂次形式。

\int_{π / 6}^{π / 4} \frac{{cos}^{3} x}{{sin}^{3} x} d x

步骤 3

应用基本三角恒等式 cos²x = 1 − sin²x，并注意 cos x dx = d(sin x)：

{cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x

cos x d x = d (sin x)

步骤 4

代入后得到：

\int_{π / 6}^{π / 4} \frac{1 - {sin}^{2} x}{{sin}^{3} x} d (sin x)

步骤 5

积分：∫ u⁻³ du = −1/(2u²)，∫ du/u = ln|u|。原函数为 −1/(2sin²x) − ln|sin x|。应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{π / 6}^{π / 4} - \frac{1}{2 {sin}^{2} x} - ln | sin x |

步骤 6

代入上下限。sin(π/4) = √2/2，sin(π/6) = 1/2。化简后得到答案。

答案

$1 - \frac{1}{2} ln 2$

常见问题

如何计算 ctg³x 的定积分？

将 ctg³x 表示为 cos³x/sin³x。分离出一个因子 cos x 并移到微分号内：cos x dx = d(sin x)。将剩余的 cos²x 用 1 − sin²x 替换（基本三角恒等式）。此时积分化为关于 sin x 的幂次形式，可以轻易求出。

为什么答案中会出现对数？

因为在拆分为两个积分时，其中一项形如 ∫ du/u，该积分等于 ln|u| + C。本题中 u = sin x，因此出现 ln|sin x|。

为什么不能从 0 积到 π/4？

当 x → 0+ 时，ctg³x → +∞，因为 ctg x = cos x/sin x，而 sin 0 = 0。这意味着被积函数在 x = 0 处有奇点，积分会变成广义积分。本题中下限为 π/6，sin(π/6) = 1/2 ≠ 0，因此积分是正常的。

一般情况下如何处理余切的奇数次幂？

标准技巧：ctg^(2n+1)x = cos^(2n+1)x / sin^(2n+1)x。分离出一个 cos x 并移到微分号内，如本题。然后用基本三角恒等式将剩余的 cos^(2n)x 用 sin²x 表示。