从 0 到 π/2 的 cos³x·sin⁴x 定积分

本题要求计算余弦立方与正弦四次方之积在区间 [0, π/2] 上的定积分。

题目

$\int_{0}^{π / 2} {cos}^{3} x {sin}^{4} x d x$

解答

步骤 1

注意到 cos³x = cos²x · cos x。这样可以分离出一个因子 cos x，将其移到微分号内。

为什么分离 cos x？

被积表达式 cos³x·sin⁴x 包含余弦的奇数次幂 (3) 和正弦的偶数次幂 (4)。标准技巧：当一个函数为奇数次幂、另一个为任意次幂时，分离出奇数次幂函数的一个因子，将其移到微分号内。本题中分离 cos x，因为 d(sin x) = cos x dx。剩余的 cos²x 用基本三角恒等式表示为 sin²x。

{cos}^{3} x = {cos}^{2} x \cdot cos x

步骤 2

应用基本三角恒等式 cos²x = 1 − sin²x，并注意 cos x dx = d(sin x)：

为什么需要基本三角恒等式？

分离出一个 cos x 后，剩下 cos²x · sin⁴x · cos x dx。我们将因子 cos x dx 替换为 d(sin x)，但 cos²x 仍用 cos x 表示。为使积分只含 sin x，使用恒等式 cos²x = 1 − sin²x。此时整个表达式成为 sin x 的函数，积分化为幂次形式。

{cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x

cos x d x = d (sin x)

步骤 3

改写积分，代入恒等式并将 cos x dx 替换为 d(sin x)：

\int_{0}^{π / 2} (1 - {sin}^{2} x) {sin}^{4} x d (sin x)

步骤 4

作换元 t = sin x 后，积分形式为：

\int_{0}^{1} (t^{4} - t^{6}) d t

步骤 5

作为幂函数积分，并应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{0}^{1} \frac{t^{5}}{5} - \frac{t^{7}}{7}

步骤 6

代入上下限 t = 1 和 t = 0。得到答案。

答案

$\frac{2}{35}$

常见问题

如何计算 cos³x·sin⁴x 的定积分？

分离出一个因子 cos x：cos³x = cos²x · cos x。将 cos x 移到微分号内：cos x dx = d(sin x)。将剩余的 cos²x 替换为 1 − sin²x。此时积分化为关于 sin x 的幂次积分。

为什么分离 cos x，而不是 sin x？

余弦的幂为奇数 (3)，正弦的幂为偶数 (4)。标准规则：如果其中一个函数为奇数次幂，分离其一个因子并移到微分号内。本题中 cos x dx = d(sin x) 较为方便，因为剩余的 cos²x 容易用 sin x 表示。如果正弦的幂为奇数，则应分离 sin x。

为什么答案是代数式而非三角函数式？

因为换元 t = sin x 后，我们得到幂函数 tⁿ 的积分，即 tⁿ⁺¹/(n + 1)。原函数用 sin x 的幂表示，代入上下限 (sin 0 = 0，sin(π/2) = 1) 后得到数值。

如果两个幂都是偶数怎么办？

如果两个幂都是偶数，使用降幂公式：sin²x = (1 − cos 2x)/2，cos²x = (1 + cos 2x)/2。反复应用，直到得到可直接积分的项。这是形如 ∫ sin^(2n)x cos^(2m)x dx 的积分的标准技巧。