从 0 到 1 的 (2x+3)/(x²+3x+2) 定积分

本题要求计算有理函数在区间 [0, 1] 上的定积分。

题目

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2} d x$

首先将分母因式分解。二次三项式 x² + 3x + 2 的根为 x = −1 和 x = −2，因此：

为什么将分母因式分解？

将分母分解为一次因式是积分有理分式的第一步。已知因式后，可以将分式表示为部分分式之和，每个部分分式都易于积分。没有因式分解，待定系数法就无法应用。

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

被积函数是真分式（分子次数 1 小于分母次数 2）。将其分解为部分分式：

如何将真分式分解为部分分式？

分母中每个一次因式 (x − a) 对应形如 A/(x − a) 的部分分式。若因式重复 k 次，则对应 k 个分式。本题分母有两个不同的一次因式——(x + 1) 和 (x + 2)，因此分解形式为 A/(x + 1) + B/(x + 2)。

如何求系数 A 和 B？

使用待定系数法。将和通分并令分子相等，得 A(x+2) + B(x+1) = 2x + 3。代入分母的根：当 x = −1 时得 A = 1；当 x = −2 时得 −B = −1，即 B = 1。

\frac{2 x + 3}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}

通分后令分子相等：

A (x + 2) + B (x + 1) = 2 x + 3

代入分母的根，得：A = 1，B = 1。

将分解式代入积分：

\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}) d x

逐项积分并应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{0}^{1} ln | x + 1 | + ln | x + 2 |

代入上下限。ln 1 = 0，因此得 ln 2 + ln 3 − ln 2 = ln 3。

$ln 3$

常见问题

如何计算有理函数的定积分？

需要：(1) 若分式为假分式——提取整式部分；(2) 将分母因式分解；(3) 将真分式分解为部分分式；(4) 用待定系数法求系数；(5) 逐项积分；(6) 按牛顿-莱布尼茨公式代入上下限。

什么是待定系数法？

这是一种求真分式部分分式分解中系数 A、B、C… 的方法。其思想是：通分、令分子相等、再令 x 的同次幂系数相等。另一种方法是将 x 的具体值（例如分母的根）代入恒等式。

为什么答案中会出现对数？

因为分解为部分分式后，得到形如 ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C 的积分。这是积分分母含有一次因式的有理函数时的标准情形。

如果分母有重根怎么办？

如果一次因式 (x − a) 重复 k 次，则对应 k 个部分分式之和。例如对于 (x + 1)²，分解为 A/(x + 1) + B/(x + 1)²。下一题展示了这一点。