从 1 到 3 的 1/(x²−2x+5) 定积分

本题要求计算分母无实根的有理函数的定积分。

题目

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2} - 2 x + 5} d x$

分母配方：

为什么配方？

二次三项式 x² − 2x + 5 的判别式为负：D = 4 − 20 = −16 < 0。因此它没有实根，不能分解为一次因式。此时唯一的积分方法是配方，将积分化为表格形式 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。

x^{2} - 2 x + 5 = {(x - 1)}^{2} + 4 = {(x - 1)}^{2} + 2^{2}

作换元 u = x − 1。此时 du = d(x − 1) = dx，积分化为表格形式：

如何化为表格积分？

表格积分为 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。配方后分母形式为 u² + 2²，其中 u = x − 1，a = 2。因此作换元 u = x − 1，得到表格积分。

\int_{1}^{3} \frac{d (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} + 2^{2}}

应用表格公式：

\frac{1}{2} [_{1}^{3} arctg \frac{x - 1}{2}

代入积分上下限。注意到 arctg 1 = π/4，arctg 0 = 0：

\frac{1}{2} (arctg 1 - arctg 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{8}

$\frac{π}{8}$

常见问题

如果分母无实根怎么办？

需要配方：x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4)。如果 q − p²/4 > 0，则得到平方与正数之和，积分化为表格形式 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。

为什么会出现反正切？

因为反正切的导数为 1/(1 + x²)。换元 u/a = t 后，得到形如 ∫ dt/(1 + t²) = arctg t + C 的积分。这是标准表格积分。

如何在 x²−2x+5 中配方？

取 x 的系数 (−2)，除以 2 得 −1。其平方为 1。则 x² − 2x + 5 = (x² − 2x + 1) − 1 + 5 = (x − 1)² + 4。验证：展开 (x − 1)² + 4 得 x² − 2x + 1 + 4 = x² − 2x + 5。

为什么答案含 π？

因为 arctg 1 = π/4，arctg 0 = 0。代入上下限后得 (1/2)·(π/4 − 0) = π/8。这是反正切类积分中上限给出 arctg 1 时的典型结果。