从 1 到 ∞ 的 (√x+x²)/(x²+x³+5) 广义积分

本题要求研究有理函数形式的第一类广义积分的敛散性。

题目

${\int }_1^{+\infty }\frac{\sqrt{x}+x^2}{x^2+x^3+5}dx$

解答

步骤 1

被积函数 f(x) = (√x+x²)/(x²+x³+5) 在 [1, +∞) 上连续：分子为正，分母不为零（其所有系数均为正）。因此该积分是第一类广义积分。应用极限形式的比较判别法。

步骤 2

求当 x → +∞ 时与 f(x) 等价的函数 g(x)。为此考察当 x 很大时分子和分母的行为。

步骤 3

当 x → +∞ 时：分子 √x + x² 表现为 x²（最高次项），分母 x² + x³ + 5 表现为 x³。因此：

步骤 4

主项之比给出等价函数：

步骤 5

用极限比较判别法验证等价性：

步骤 6

将分子和分母同时除以 x³，然后取极限：

步骤 7

调和积分 ∫₁⁺∞ dx/x 发散（基准积分 α = 1）。根据极限形式的比较判别法，若 lim f(x)/g(x) = c（0 < c < ∞），则积分 ∫ f 与 ∫ g 同时收敛或同时发散。因此原积分发散。

答案

发散。