从 0 到 ∞ 的 arctg(x²/(x+1))/(x²+4) 广义积分

本题要求研究混合型广义积分的敛散性：既有零点处的潜在奇点，又有无穷上限。

题目

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctg \frac{x^{2}}{x + 1}}{x^{2} + 4} d x$

解答

步骤 1

被积函数 f(x) = arctg(x²/(x+1))/(x²+4) 可能在 x = 0 处有奇异性，且具有无穷上限。以 x = 1 为分点，将积分拆分为两个：

为什么选择 x = 1 作为分点？

x = 1 是方便的边界：在 [0, 1] 上函数有界（下面单独验证），在 [1, +∞) 上可以应用上方估计研究敛散性。这样的拆分使我们能够独立处理每一部分。

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctg \frac{x^{2}}{x + 1}}{x^{2} + 4} d x = \int_{0}^{1} \frac{arctg \frac{x^{2}}{x + 1}}{x^{2} + 4} d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{arctg \frac{x^{2}}{x + 1}}{x^{2} + 4} d x

步骤 2

考察 f(x) 当 x → 0+ 时的行为。反正切的自变量 x²/(x+1) → 0，因此 arctg(x²/(x+1)) ~ x²/(x+1) → 0。分母 x²+4 → 4。因此 f(x) → 0/4 = 0。x = 0 处的奇异性是可去的，[0, 1] 上的积分是正常（黎曼）积分，而非广义积分。

为什么零点处的间断是可去的？

函数当 x → 0+ 时的极限有限（等于 0）。因此可以用值 0 在 x = 0 处延拓该函数，使其在 [0, 1] 上连续。所以 [0, 1] 上的积分作为普通黎曼积分收敛。

步骤 3

现在考察 f(x) 当 x → +∞ 时的行为。反正切的自变量 x²/(x+1) → +∞，因此 arctg(x²/(x+1)) → π/2。反正切函数有界：对于所有 t > 0，0 < arctg t < π/2。因此分子也有界。

步骤 4

当 x ≥ 1 时得到上方估计：

0 \leq f (x) \leq \frac{π / 2}{x^{2}}, x \geq 1

步骤 5

考虑基准积分：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{2}}

为什么基准积分收敛？

积分 ∫₁⁺∞ dx/xᵅ 在 α > 1 时收敛，在 α ≤ 1 时发散。本题中 α = 2 > 1，因此 g(x) = 1/x² 的积分收敛。

步骤 6

根据上方估计形式的比较判别法：[1, +∞) 上的积分收敛。[0, 1] 上的积分是正常积分。根据可加性，原积分收敛。

答案

收敛。

替代路径：通过极限比较

同一问题也可以用极限形式的比较判别法解决。考察在无穷远处 f(x) 与 g(x) = 1/x² 之比的极限：

lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} \cdot arctg \frac{x^{2}}{x + 1}}{x^{2} + 4} = \frac{π}{2}

极限有限且不为零（等于 π/2）。因此积分 ∫₁⁺∞ f(x) dx 与 ∫₁⁺∞ dx/x² 同时收敛或同时发散。第二个积分收敛（α = 2 > 1），所以原积分也收敛。

常见问题

如何研究混合型广义积分？

此类积分被拆分为几部分：奇点处（若存在）和无穷远处分别处理。每一部分用各自的方法研究：奇点附近——通过等价性和第二类基准积分；无穷远处——通过上方估计或与第一类基准积分的极限比较。

为什么反正切有界以及如何利用这一点？

函数 arctg t 对于所有 t > 0 取值于 (0, π/2)。这使我们在上方估计中可以把分子替换为 π/2：0 ≤ arctg(x²/(x+1)) ≤ π/2。这种替换不改变敛散性，因为 π/2 是有限常数。

什么是可去间断，为什么重要？

如果函数在该点的极限存在且有限，但函数本身在该点或者无定义，或者取不同的值，则该间断称为可去间断。对积分而言，这意味着在该点附近的线段上积分是正常（黎曼）积分，而非广义积分。本题中 f(x) 当 x → 0+ 时趋于 0，因此间断是可去的。

哪种方法更优——上方估计还是极限比较？

两种方法给出相同的结果。当函数有界且容易被基准函数控制时，上方估计更简单。当需要精确确定函数在无穷远处的行为（等价性）时，极限比较更方便。本题中两种方法效果相同。