从 1 到 ∞ 的 arccos(1/x)/(x√x) 广义积分

本题要求研究上限为无穷的第一类广义积分的敛散性。

题目

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{arccos \frac{1}{x}}{x \sqrt{x}} d x$

解答

步骤 1

被积函数 f(x) = arccos(1/x)/(x√x) 在 [1, +∞) 上有定义且连续：当 x ≥ 1 时，自变量 1/x ∈ (0, 1]，因此 arccos(1/x) 取值于 [0, π/2]；分母 x√x = x^3/2 ≥ 1 为正。因此该积分是第一类广义积分。为研究敛散性，应用上方估计形式的比较判别法。

为什么函数在整个区间上连续？

函数 arccos u 在 u ∈ [−1, 1] 上有定义且连续。当 x ≥ 1 时，1/x ∈ (0, 1]，落在该区间内。分母 x√x = x^3/2 在 x ≥ 1 时不为零。因此在整个 [1, +∞) 上被积函数连续，积分的唯一奇异性在于无穷上限。

步骤 2

我们用更简单的函数对上方进行估计，该函数的积分易于研究。

步骤 3

对于任意 x ≥ 1，arccos(1/x) 有界：

0 \leq arccos \frac{1}{x} \leq \frac{π}{2}

步骤 4

对分子和分母进行整理，得到被积函数的估计：

0 \leq f (x) \leq \frac{π / 2}{x^{3 / 2}}

为什么只需对分子进行估计？

我们将分子 arccos(1/x) 替换为其最大值 π/2。由于分母为正，分式只会增大。所得函数 g(x) = 1/x^3/2 是幂函数，它在 [1, +∞) 上的积分已知且收敛。这使我们能够应用上方估计形式的比较判别法。

步骤 5

考虑比较函数的基准积分：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{3 / 2}}

为什么基准积分收敛？

积分 ∫₁⁺∞ dx/x^α 在 α > 1 时收敛，在 α ≤ 1 时发散。这是第一类广义积分的经典基准积分。本题中 α = 3/2 > 1，因此 g(x) 的积分收敛。

步骤 6

根据上方估计形式的比较判别法：若当 x ≥ a 时 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x) 且 ∫ g(x) dx 收敛，则 ∫ f(x) dx 也收敛。本题中 f(x) ≤ (π/2)·(1/x^3/2)，而 1/x^3/2 的积分收敛。因此原积分收敛。

答案

收敛。

常见问题

如何研究广义积分的敛散性？

主要方法是比较判别法。选取更简单的函数 g(x)，使其在 x → +∞（或在奇点处 x → a）时与 f(x) 等价，然后比较积分。若 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x) 且 ∫ g 收敛，则 ∫ f 也收敛。若 f(x) ≥ C·g(x) 且 ∫ g 发散，则 ∫ f 也发散。

如何选取比较函数 g(x)？

考察当 x → +∞ 时分子和分母的行为。本题中分子 arccos(1/x) 有界（不增长），而分母 x√x = x^3/2 表现为幂函数。因此 g(x) = 1/x^3/2。

什么是基准积分 ∫₁⁺∞ dx/xᵅ？

这是第一类广义积分，其敛散性取决于 α。当 α > 1 时收敛，当 α ≤ 1 时发散。它作为基准：若所研究的积分被 C/x^α（α > 1）的积分控制，则该积分收敛。

为什么不能直接计算该积分？

被积函数含有 arccos(1/x) 和 x√x。此类组合的原函数不能用初等函数表示。因此唯一的方法是使用比较判别法研究敛散性。