从 1 到 2 的 dx/ln²x 广义积分
本题要求研究下限为奇点的第二类广义积分的敛散性。
题目
解答
步骤 1
被积函数 f(x) = 1/ln²x 在 x = 1 处无定义（分母为零），但在任意线段 [1+ε, 2]（ε > 0）上连续。因此该积分是奇点在 x = 1 的第二类广义积分。
为什么该积分是第二类广义积分？
第二类广义积分出现在被积函数在积分区间的某点无界（趋于无穷）时。本题中当 x → 1+ 时 ln x → 0，因此 1/ln²x → +∞。奇点 x = 1 是区间的左端点。
步骤 2
为应用比较判别法，求奇点附近的等价函数。使用洛必达法则处理比值 ln x / (x−1)。
步骤 3
当 x → 1+ 时，分子和分母都趋于零，即 0/0 型不定式。应用洛必达法则：
为什么需要洛必达法则？
洛必达法则用于解决 0/0 或 ∞/∞ 型不定式。本题中 ln x/(x−1) 当 x → 1+0 时的极限等于 1。这意味着当 x → 1+0 时 ln x ~ (x−1)，这是后续分析的关键等价关系。
步骤 4
由此得到等价关系：
步骤 5
因此被积函数等价于：
步骤 6
用极限比较判别法与函数 g(x) = 1/(x−1)² 验证等价性：
步骤 7
积分 ∫₁² dx/(x−1)² 发散：这是第二类广义积分的基准积分 ∫_a^b dx/(x−a)^α 当 α = 2 ≥ 1 时的情形。根据极限形式的比较判别法（lim f/g = 1，0 < 1 < ∞），积分 ∫ f 与 ∫ g 同时收敛或同时发散。因此原积分发散。
为什么基准积分发散？
广义基准积分 ∫_a^b dx/(x−a)^α 在 α < 1 时收敛，在 α ≥ 1 时发散。本题中 α = 2 ≥ 1，因此 g(x) 的积分发散。证明：∫_{1+ε}^{2} dx/(x−1)² = [−1/(x−1)]_{1+ε}^{2} = −1 + 1/ε → +∞（当 ε → 0+）。
答案
发散。
