沿螺旋线的第一类曲线积分

本题要求计算沿螺旋线半圈的第一类曲线积分。

题目

计算第一类曲线积分：

\int_{L} \frac{z d l}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, L : x = cos t, y = sin t, z = t, t \in [0; π]

解答

步骤 1

曲线 L 由参数方程给出：x = cos t、y = sin t、z = t。当参数 t 从 0 变到 π 时，点沿 Oz 轴绕行螺旋线半圈，同时上升到高度 π。

x = cos t, y = sin t, z = t, t \in [0; π]

步骤 2

求各坐标关于参数 t 的导数：

x^{'} (t) = - sin t, y^{'} (t) = cos t, z^{'} (t) = 1

步骤 3

根据参数方程给出曲线的弧长微元公式，计算 dl：

为什么 dl = √2 dt？

参数方程给出的空间曲线的弧长微元为 dl = √((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt。本题中 (x′)² = sin²t、(y′)² = cos²t、(z′)² = 1。由基本三角恒等式 sin²t + cos²t + 1 = 2，因此 dl = √2 dt——沿整条曲线为常数。

d l = \sqrt{{(- sin t)}^{2} + {(cos t)}^{2} + 1^{2}} d t = \sqrt{2} d t

步骤 4

利用基本三角恒等式化简被积表达式的分母：

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{cos}^{2} t + {sin}^{2} t} = 1

步骤 5

将所得表达式代入被积表达式：

\frac{z d l}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{t \cdot \sqrt{2} d t}{1} = t \sqrt{2} d t

步骤 6

化为关于参数 t 的定积分：

\int_{L} \frac{z d l}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \sqrt{2} \int_{0}^{π} t d t

步骤 7

利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分：

\sqrt{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} |_{0}^{π} = \sqrt{2} \cdot \frac{π^{2}}{2} = \frac{π^{2} \sqrt{2}}{2}

答案

π²√2 / 2。

常见问题

如何计算第一类曲线积分？

第一类曲线积分 ∫_L f(x, y, z) dl 通过参数化曲线化为定积分：x = x(t)、y = y(t)、z = z(t)，t ∈ [a; b]。此时 dl = √((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt，积分变为 ∫_a^b f(x(t), y(t), z(t))·√((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt。

什么是螺旋线？它有什么性质？

螺旋线是由 x = R cos t、y = R sin t、z = ct 给出的空间曲线。它缠绕在半径为 R 的圆柱面上，每转一圈高度增加 2πc。本题中 R = 1、c = 1，因此在 Oxy 平面上的投影是单位圆，高度随 t 线性增长。

第一类和第二类曲线积分有何区别？

第一类曲线积分（对弧长）与遍历方向无关，含有 dl。第二类曲线积分与方向有关，含有 dx、dy、dz。本题是第一种情形，因此反转遍历方向不会改变答案。

为什么答案中含有 π² 和 √2？

因子 √2 来自弧长微元 dl = √2 dt（导数平方和等于 2）。因子 π² 来自对 t dt 从 0 到 π 的积分：∫₀^π t dt = π²/2。合并得到 π²√2/2。