沿抛物线 y = x³ 的曲线积分 x dy − y dx

本题要求通过参数 t 的参数化，计算沿抛物线 y = x³ 的第二类曲线积分。

题目

计算曲线积分：

\int_{L} x d y - y d x, L : y = x^{3}, O (0; 0) \to A (1; 1)

曲线 L 由显式方程 y = x³ 给出。引入参数 t = x，则 y = t³。点 O(0;0) 对应 t = 0，点 A(1;1) 对应 t = 1。

为什么选取参数 t = x？

当曲线由函数 y = f(x) 的图像给出时，最简单的参数化是 x = t。此时 y = f(t)，参数的上下限与沿曲线 x 的变化范围一致。

x = t, y = t^{3}, t \in [0; 1]

求 dx 和 dy 关于参数 t 的微分：

d x = d t, d y = 3 t^{2} d t

代入被积表达式 x dy − y dx：

x d y - y d x = t \cdot 3 t^{2} d t - t^{3} d t = 2 t^{3} d t

化为关于参数 t 的定积分：

为什么积分上下限是从 0 到 1？

上下限对应参数 t 在曲线起点和终点的值：t = 0 在点 O(0;0)，t = 1 在点 A(1;1)。遍历方向保持不变——从 O 到 A。

\int_{L} x d y - y d x = \int_{0}^{1} 2 t^{3} d t

利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分：

2 \cdot \frac{t^{4}}{4} |_{0}^{1} = \frac{1}{2}

1/2。

常见问题

如何计算第二类曲线积分？

第二类曲线积分 ∫_L P dx + Q dy 通过参数化曲线 L 化为定积分：x = x(t)、y = y(t)，t ∈ [a; b]。此时 dx = x′(t) dt、dy = y′(t) dt，积分变为关于变量 t 的定积分。

如何参数化由 y = f(x) 给出的曲线？

若曲线由图像 y = f(x) 给出，x 从 a 到 b，则自然参数化为 x = t、y = f(t)，t ∈ [a; b]。这可将曲线积分化为普通的定积分。

什么影响第二类曲线积分的符号？

符号取决于遍历方向：反转方向会使积分变号。本题中方向由 O(0;0) 到 A(1;1)，因此上下限从 0 到 1。

第一类和第二类曲线积分有何区别？

第一类曲线积分（对弧长）与遍历方向无关，其被积表达式中含有 dl。第二类曲线积分与方向有关，含微分 dx、dy（或其组合）。