沿圆的曲线积分 x dy − y dx

本题要求计算沿单位圆完整一周的第二类曲线积分。

题目

计算曲线积分：

\int_{L} x d y - y d x, L : x = cos t, y = sin t, t \in [0; 2 π]

曲线 L 由参数方程给出：x = cos t，y = sin t。当参数 t 从 0 变到 2π 时，点沿单位圆逆时针绕行一周，回到起点。

x = cos t, y = sin t, t \in [0; 2 π]

求 dx 和 dy 关于参数 t 的微分：

d x = - sin t d t, d y = cos t d t

代入被积表达式 x dy − y dx：

x d y - y d x = cos t \cdot cos t d t - sin t \cdot (- sin t) d t

= {cos}^{2} t d t + {sin}^{2} t d t

应用基本三角恒等式：

为什么被积表达式化简为 dt？

代入参数化后得到 cos²t dt + sin²t dt。由基本三角恒等式，cos²t + sin²t = 1。因此整个被积表达式化简为 dt——这是沿圆完整一周的典型结果。

{cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1 \Rightarrow x d y - y d x = d t

化为定积分并计算：

\int_{L} x d y - y d x = \int_{0}^{2 π} d t = 2 π

2π。

几何意义

形如 ∫_L x dy − y dx 的曲线积分等于由闭合曲线 L 所围区域面积的两倍（当逆时针方向遍历时）。单位圆的面积为 π，因此积分等于 2π。这与所得结果相符。

常见问题

如何计算沿圆的曲线积分？

如果圆由参数方程给出（x = R cos t、y = R sin t，t ∈ [0; 2π]），将被积表达式中的参数化代入，求 dx 和 dy，然后化为关于 t 的定积分。被积表达式常常可以用三角恒等式简化。

为什么完整绕行一周时积分等于 2π？

在参数化 x = cos t、y = sin t 下，被积表达式 x dy − y dx 化简为 dt。对 t 从 0 到 2π 积分得到区间长度 2π。几何上这是单位圆面积的两倍。

如果按顺时针绕行会怎样？

按顺时针绕行时积分变号。这是因为第二类曲线积分与遍历方向有关。数学上这表现为 t 的积分上下限变为 [2π; 0]。

曲线积分与面积有何联系？

有通过第二类曲线积分表示面积的公式：S = ½ ∮_L (x dy − y dx)。该公式适用于按逆时针方向遍历的闭合曲线 L，是格林公式的特殊情形。