抛物线 y = x² 和 y = 2x − x² 之间的区域面积

本题要求通过二重积分求由两条抛物线围成的平面区域的面积。

题目

计算由以下曲线围成的区域 D 的面积：

y = x^{2}, y = 2 x - x^{2}

令两条抛物线的方程相等，求交点：

为什么需要求交点？

交点确定了关于 x 的积分上下限。没有它们，就无法正确地设置区域 D 的边界。

x^{2} = 2 x - x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x (x - 1) = 0

x_{1} = 0, x_{2} = 1

将 x 代入任一方程求相应的 y 值：

O (0; 0), A (1; 1)

确定区域 D。在区间 [0; 1] 上，抛物线 y = 2x − x² 位于抛物线 y = x² 上方，因此区域由以下不等式给出：

D : 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq 2 x - x^{2}

为什么 y = 2x − x² 在上方？

抛物线 y = 2x − x² = 1 − (x−1)² 的顶点在 (1; 1)，开口向下。抛物线 y = x² 的顶点在 (0; 0)，开口向上。在两交点之间前者位于后者上方——代入 x = 0.5 即可验证。

通过二重积分表示区域面积：

S = \iint_{D} d x d y = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2 x - x^{2}} d y

计算关于 y 的内层积分：

\int_{x^{2}}^{2 x - x^{2}} d y = (2 x - x^{2}) - x^{2} = 2 x - 2 x^{2}

代入上下限后得到关于 x 的定积分，用牛顿-莱布尼茨公式计算：

S = \int_{0}^{1} (2 x - 2 x^{2}) d x = {[x^{2} - \frac{2 x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

S = 1/3。

常见问题

如何通过二重积分求区域面积？

区域 D 的面积按公式 S = ∬_D dx dy 计算。为计算二重积分，需要根据区域的边界设置上下限，化为累次积分：先对 y（从下边界到上边界），再对 x 积分。

如何确定区域的遍历顺序？

首先求边界曲线的交点——它们给出 x 方向上的上下限。然后对每个 x 确定哪条曲线在下、哪条在上——这就是 y 方向上的上下限。本题中 0 ≤ x ≤ 1，x² ≤ y ≤ 2x − x²。

如果区域由多于两条曲线围成怎么办？

此时需要将区域分成若干部分，每部分恰好由两条曲线（上下）围成。然后分别计算每部分的面积并求和。

可以不用二重积分计算该面积吗？

可以，两条曲线在区间 [a; b] 之间的面积按公式 S = ∫_a^b (y_上(x) − y_下(x)) dx 计算。这实际上是一个简化的累次积分。但二重积分方法更通用，适用于更复杂的区域。