柱体内抛物面下的体积

本题要求通过二重积分求由抛物面和柱体围成的物体的体积。

题目

求由以下曲面围成的物体的体积：

z = x^{2} + y^{2}, z = 0, x^{2} + y^{2} = 1

物体在 Oxy 平面上的投影是由柱体 x² + y² = 1 围成的单位圆盘 D。上方由抛物面 z = x² + y² 限定，下方由平面 z = 0 限定。

为什么投影是单位圆盘？

柱体 x² + y² = 1 是竖直的（其轴平行于 Oz），因此物体在 Oxy 平面上的投影与其横截面一致——单位圆盘。z 方向的上下限由抛物面与平面 z = 0 之间的高度差确定。

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

通过高度差的二重积分表示物体体积：

V = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y

变换到极坐标：x = r cos φ、y = r sin φ、dx dy = r dr dφ：

为什么极坐标方便？

积分区域 D 是圆盘，被积函数只依赖于 r² = x² + y²。极坐标将圆盘变成 (r, φ) 下的矩形 [0; 1] × [0; 2π]，被积表达式简化为 r²·r = r³，易于积分。

x = r cos φ, y = r sin φ, x^{2} + y^{2} = r^{2}

d x d y = r d r d φ, 0 \leq φ \leq 2 π, 0 \leq r \leq 1

在累次积分中设置上下限：

V = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{1} r^{3} d r

计算关于 r 的内层积分：

\int_{0}^{1} r^{3} d r = \frac{r^{4}}{4} |_{0}^{1} = \frac{1}{4}

计算关于 φ 的外层积分：

V = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d φ = \frac{1}{4} \cdot 2 π = \frac{π}{2}

V = π/2。

常见问题

如何通过二重积分求物体的体积？

若物体上方由曲面 z = f(x, y) 限定、下方由 Oxy 平面内的区域 D 限定，则其体积为 V = ∬_D f(x, y) dx dy。若下方由另一曲面 z = g(x, y) 限定，则 V = ∬_D (f − g) dx dy。

何时方便变换到极坐标？

当积分区域是圆盘（或其一部分）、圆环或扇形，且被积函数含有 x² + y² 时，极坐标较为方便。此时 dx dy = r dr dφ，x² + y² = r²，简化了积分。

如何选择积分顺序？

先对上下限依赖于另一变量的变量积分。在极坐标中通常先对 r 积分（从 0 到区域边界），再对 φ 积分。在笛卡尔坐标中——先对 y 积分（从下边界到上边界），再对 x 积分。

如果柱体半径增大一倍会怎样？

若柱体半径为 R 而非 1，则 V = ∫₀^{2π} dφ ∫₀^R r³ dr = 2π · R⁴/4 = πR⁴/2。R = 1 时为 π/2，R = 2 时为 8π。体积按半径的四次方增长。