由 y = 8 − x² 和 y = x + 2 围成的平面图形的质量，密度 ρ = 2x²

本题要求通过二重积分求具有变密度的平面图形的质量。

题目

图形由以下曲线围成：

y = 8 - x^{2}, y = x + 2, ρ (x, y) = 2 x^{2}

求曲线的交点。为此令 y 的表达式相等：

为什么需要求交点？

交点确定了沿 x 方向的积分区域边界。没有它们，就无法正确地在外层积分中设置上下限。

8 - x^{2} = x + 2 \Rightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 3, x_{2} = 2

将 x 代入直线方程，求出对应的 y 值：

A (- 3; - 1), B (2; 4)

确定积分区域 D。在区间 [−3; 2] 上，抛物线 y = 8 − x² 位于直线 y = x + 2 的上方（验证：当 x = 0 时，抛物线给出 8，直线给出 2）。因此区域 D 由以下不等式给出：

D : - 3 \leq x \leq 2, x + 2 \leq y \leq 8 - x^{2}

为什么抛物线在直线上方？

抛物线 y = 8 − x² 的顶点在 (0; 8)，开口向下。直线 y = x + 2 经过 (0; 2)，斜率为 1。在两交点之间的线段上，抛物线位于直线上方，代入 x = 0 即可轻松验证。

具有变密度 ρ(x, y) 的平面图形的质量由下式给出：

m = \iint_{D} ρ (x, y) d x d y = \int_{- 3}^{2} d x \int_{x + 2}^{8 - x^{2}} 2 x^{2} d y

计算关于 y 的内层积分（对于固定的 x，密度 2x² 可以提到积分号外）：

\int_{x + 2}^{8 - x^{2}} 2 x^{2} d y = 2 x^{2} (6 - x - x^{2})

代入上下限后，得到关于 x 的外层积分：

m = \int_{- 3}^{2} (12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x^{4}) d x

利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分：

m = {[4 x^{3} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{5}}{5}]}_{- 3}^{2} = \frac{56}{5} - (- \frac{513}{10}) = \frac{125}{2}

m = 125/2。

常见问题

如何通过二重积分求平面图形的质量？

质量按公式 m = ∬_D ρ(x, y) dx dy 计算，其中 D 是图形所占据的区域，ρ(x, y) 是面密度。为计算二重积分，需要根据区域的边界设置上下限，将其化为累次积分。

如何确定区域的遍历顺序？

首先求边界曲线的交点——它们给出 x 方向上的上下限。然后对每个 x 确定哪条曲线在下、哪条在上——这就是 y 方向上的上下限。本题中 −3 ≤ x ≤ 2，x + 2 ≤ y ≤ 8 − x²。

为什么密度可以提到内层积分之外？

密度 ρ(x, y) = 2x² 只依赖于 x。对 y 积分时（x 固定），因子 2x² 是常数，因此可以提到积分号外。

如果边界曲线有多个交点怎么办？

如果曲线有超过两个交点，需要将区域分成几部分，分别计算每部分的积分，然后相加。本题中抛物线与直线恰好相交于两点，因此区域是单一的。