如何解 ЕГЭ 第 1 题的指数方程？

主要方法是把两边化为同底。如果成功，则令指数相等。如果不成功，则使用换元法（如 t = 2^x）或取对数。

为什么化为同底后可以令指数相等？

因为当 a > 0 且 a ≠ 1 时，指数函数 a^x 严格单调：每个值只取一次。因此由 a^u = a^v 可得 u = v。

当方程中含有不同指数但同底的幂时，例如 4^x − 3·2^x + 2 = 0。换元 t = 2^x 可将其化为关于 t 的一元二次方程。

因为对任意实数 x，2^x > 0。负值和零值 t 不对应任何 x，因此 t ≤ 0 的根应舍去。

本页属于「ЕГЭ 专业级第 1 题. 最简方程」分区。这里收录了指数方程的解答，根整齐（整数）。每道题包含题目条件、逐步解答和答案。

解方程：

2^{x} = 8

将 8 表示为 2 的幂：8 = 2³。于是方程变为：

8 = 2^{3} \Rightarrow 2^{x} = 2^{3} \Rightarrow x = 3

答案: $x = 3$ .

解方程：

3^{x + 1} = 27

将 27 表示为 3 的幂：27 = 3³。得到：

27 = 3^{3} \Rightarrow 3^{x + 1} = 3^{3}

因为底数大于 1，所以指数相等：

x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2

答案: $x = 2$ .

解方程：

5^{2 x - 1} = 125

将 125 表示为 5 的幂：125 = 5³。得到：

125 = 5^{3} \Rightarrow 5^{2 x - 1} = 5^{3}

令指数相等并解线性方程：

2 x - 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2

答案: $x = 2$ .

解方程：

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0

注意到 4^x = (2²)^x = (2^x)²。这可将方程化为关于 2^x 的一元二次方程：

4^{x} = {(2^{2})}^{x} = {(2^{x})}^{2}

引入换元：

t = 2^{x}, t > 0

得到一元二次方程：

t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow t_{1} = 1, t_{2} = 2

回到变量 x：

2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0; 2^{x} = 2 \Rightarrow x = 1

答案: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1$ .