如何解 ЕГЭ 第 1 题的无理方程？

主要方法是两边平方。平方后得到不含根号的方程，按标准方法求解。必须进行根检验：平方可能产生增根。

为什么会产生增根？

因为平方不是等价变形：如果 a = −b，则 a² = b²，但反之不成立。因此平方后必须将每个根代入原方程检验。

如果对所有允许的 x，方程两边都非负，且平方不改变符号，可以用右边非负的条件代替检验。但在 ЕГЭ 中更稳妥的做法是始终检验——只需几秒钟。

先分离出一个根号（把另一个移到另一边），然后平方。化简后可能还剩一个根号——再次平方。每一步都必须检验。

本页属于「ЕГЭ 专业级第 1 题. 最简方程」分区。这里收录了无理方程的解答，根整齐（整数）。每道题包含题目条件、附根检验的逐步解答和答案。

解方程：

\sqrt{x + 6} = x

两边平方。此时可能产生增根，因此检验是必须的：

x + 6 = x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0

用韦达定理解所得的一元二次方程：

x_{1} = 3, x_{2} = - 2

检验根。当 x = 3 时：√(3 + 6) = √9 = 3，成立。当 x = −2 时：√(−2 + 6) = √4 = 2，而右边为 −2。得到 2 = −2，不成立，该根为增根。

舍去增根 x = −2。

答案: $x = 3$ .

解方程：

\sqrt{2 x + 3} = 3

两边平方并求出 x：

2 x + 3 = 9 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3

检验：√(2·3 + 3) = √9 = 3，成立。

答案: $x = 3$ .

解方程：

\sqrt{x^{2} - 3 x + 3} = 1

两边平方并化为一元二次方程：

x^{2} - 3 x + 3 = 1 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0

由韦达定理，根为：

x_{1} = 1, x_{2} = 2

检验：当 x = 1 和 x = 2 时，被开方数等于 1，√1 = 1，两个根都成立。

答案: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ .

解方程：

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2

将一个根号留在左边：

\sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x - 3}

两边平方并化简：

x + 5 = 4 + 4 \sqrt{x - 3} + x - 3

4 = 4 \sqrt{x - 3} \Rightarrow \sqrt{x - 3} = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4

检验：√(4 + 5) − √(4 − 3) = √9 − √1 = 3 − 1 = 2，成立。

答案: $x = 4$ .