f(x) = x · cos 3x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = x · cos 3x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 0。

题目

$f (x) = x \cdot cos 3 x, F (0) = 0$

应用分部积分公式：

\int u d v = u v - \int v d u

令 u = x（则 du = dx），dv = cos 3x dx（则 v = (1/3)·sin 3x）：

u = x, d u = d x

d v = cos 3 x d x, v = \frac{1}{3} sin 3 x

代入分部积分公式：

\int x \cdot cos 3 x d x = \frac{x \cdot sin 3 x}{3} - \frac{1}{3} \int sin 3 x d x

计算剩余的积分，得到原函数的一般表达式：

F (x) = \frac{x \cdot sin 3 x}{3} + \frac{cos 3 x}{9} + C

从条件 F(0) = 0 求出常数 C。将 x = 0 代入：cos 0 = 1，因此：

F (0) = 0 + \frac{1}{9} + C = 0

由此 C = −1/9。所求的原函数为：

$F (x) = \frac{x \cdot sin 3 x}{3} + \frac{cos 3 x}{9} - \frac{1}{9}$

常见问题

如何求 f(x) = x · cos 3x 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = x（多项式微分后降次），dv = cos 3x dx（容易积分到 (1/3)·sin 3x）。

为什么 v = (1/3)·sin 3x，而不是 sin 3x？

因为 ∫ cos 3x dx = (1/3)·sin 3x。验证：(1/3)·sin 3x 的导数为 (1/3)·3·cos 3x = cos 3x。因子 1/3 来自余弦内 x 的系数。

为什么本题中 C = −1/9？

由条件 F(0) = 0 得到。当 x = 0 时：(0/3)·sin 0 + (1/9)·cos 0 + C = 0 + 1/9 + C = 0，从而 C = −1/9。

什么情况下使用分部积分法？

当被积表达式是不同类型函数的乘积时：多项式 × 指数函数、多项式 × 三角函数、指数函数 × 三角函数、对数、反三角函数。经典特征是：积分不能直接求出，但应用公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du 后可以简化。