如何解 ЕГЭ 第 1 题的对数方程？

主要方法是利用对数定义：log_a b = c 等价于 a^c = b（要求 b > 0）。若方程中有多个对数，先用性质（和、差、幂）合并为一个，再用定义。

什么是定义域，为什么要检验？

定义域是允许取值的集合。对于对数 log_a b，要求 b > 0、a > 0、a ≠ 1。解出方程后必须检验所求根是否落在定义域内，否则可能出现增根。

从对数方程转化为代数方程（例如取幂或“去掉”对数）时，定义域可能扩大。因此必须按定义域检验根。

lg 是十进对数（底为 10），ln 是自然对数（底为 e ≈ 2.718），带底数的 log 表示以该底取对数（如 log₂ 表示以 2 为底）。

本页属于「ЕГЭ 专业级第 1 题. 最简方程」分区。这里收录了对数方程的解答，根整齐（整数）。每道题包含题目条件、附定义域检验的逐步解答和答案。

解方程：

{log}_{2} (x + 3) = 4

由对数定义：log₂ A = 4 即 2⁴ = A。因此：

x + 3 = 2^{4} \Rightarrow x + 3 = 16 \Rightarrow x = 13

定义域检验：x + 3 = 16 > 0，根成立。

答案: $x = 13$ .

解方程：

{log}_{3} (2 x - 1) = 2

由对数定义：log₃ A = 2 即 3² = A。因此：

2 x - 1 = 3^{2} \Rightarrow 2 x - 1 = 9 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5

定义域检验：2x − 1 = 9 > 0，根成立。

答案: $x = 5$ .

解方程：

lg (x^{2} - 3 x) = 1

lg 是十进对数，即 log₁₀。由定义：x² − 3x = 10¹ = 10。得到一元二次方程：

x^{2} - 3 x = 10^{1} \Rightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0

由韦达定理，根为：

x_{1} = 5, x_{2} = - 2

检验定义域：对数真数必须为正。当 x = 5 时：25 − 15 = 10 > 0，成立。当 x = −2 时：4 + 6 = 10 > 0，形式上也为正。

两个根都落在定义域内，但在 ЕГЭ 第 1 题中通常只需一个答案——若要求最大根，答案为 5。

答案: $x = 5$ .

解方程：

{log}_{2} (x - 1) + {log}_{2} (x + 1) = 3

同底对数之和等于积的对数：

{log}_{2} [(x - 1) (x + 1)] = 3

由对数定义：

(x - 1) (x + 1) = 2^{3} \Rightarrow x^{2} - 1 = 8 \Rightarrow x^{2} = 9

x = 3 или x = - 3

检验定义域：x − 1 > 0 且 x + 1 > 0，即 x > 1。根 x = −3 不成立（x − 1 = −4 < 0）。根 x = 3 成立。

答案: $x = 3$ .