НОД и НОК

НОД (наибольший общий делитель) двух чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся оба данных числа без остатка.

Обозначение: НОД(a, b). Например, НОД(12, 18) = 6.

НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба данных числа без остатка.

Обозначение: НОК(a, b). Например, НОК(12, 18) = 36.

Способ 1 — разложение на простые множители:

• разложить оба числа на простые множители;
• выбрать общие множители;
• перемножить их — это и будет НОД.

Пример: НОД(24, 36). 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². Общие множители: 2² · 3 = 12. Значит, НОД(24, 36) = 12.

Способ 2 — алгоритм Евклида: делим большее число на меньшее, затем меньшее на остаток, и так до нуля. Последний ненулевой остаток — это НОД.

Способ 1 — разложение на простые множители:

• разложить оба числа на простые множители;
• выбрать все множители, входящие хотя бы в одно разложение, с максимальной степенью;
• перемножить их — это и будет НОК.

Пример: НОК(24, 36). 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². Максимальные степени: 2³ · 3² = 72. Значит, НОК(24, 36) = 72.

Способ 2 — через НОД: НОК(a, b) = (a · b) / НОД(a, b).

НОД и НОК активно используются при работе с дробями:

• НОД — при сокращении дробей (числитель и знаменатель делятся на НОД);
• НОК — при приведении дробей к общему знаменателю (общий знаменатель — это НОК знаменателей);
• НОК также используется при решении задач на движение, работу и совместные действия.

Примеры вычисления НОД и НОК:

• НОД(12, 18) = 6, НОК(12, 18) = 36;
• НОД(8, 12) = 4, НОК(8, 12) = 24;
• НОД(7, 11) = 1, НОК(7, 11) = 77 (взаимно простые числа).