Табличные значения синуса 30, 45, 60 градусов с пояснениями

Напротив угла 30° находится катет, обозначим его как a.

В этом случае гипотенуза в два раза больше, так как катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.

$sin\mathrm{30°}=\frac{a}{2a}$

Сокращаем a:

$sin\mathrm{30°}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$

Итак, $sin\mathrm{30°}=\frac{1}{2}$

Если в прямоугольном треугольнике один угол равен 45°, то другой угол тоже равен 45° — получается равнобедренный треугольник. Обозначим стороны как a.

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, но гипотенуза не известна. Найдём её по теореме Пифагора: сумма квадратов катетов, затем извлекаем корень.

$\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Так

$sin\mathrm{45°}=\frac{a}{a\sqrt{2}}$

Сокращаем a:

$sin\mathrm{45°}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляемся от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$.

Итак, $sin\mathrm{45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ — табличное значение.

Для этого рассмотрим треугольник из первого случая.

Так гипотенуза равна $2a$, а известный катет принят как a.

По теореме Пифагора можно найти катет, лежащий против угла 60°.

$\sqrt{4a^2-a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

Находим синус 60° — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$sin\mathrm{60°}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}$

Сокращаем a:

$sin\mathrm{60°}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}$

Итак, $sin\mathrm{60°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол	sin
30°	$\frac{1}{2}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$