Главная › Справочная информация › Теория по математике › Теорема Виета

Теорема Виета: формула, доказательство и примеры с решениями

Теорема Виета — одна из важнейших теорем в алгебре, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. На этой странице вы найдете формулу теоремы Виета, её доказательство, примеры решения задач, а также применение для кубических уравнений. Теорема широко используется при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

формула теоремы виета
доказательство теоремы виета
примеры решения задач
обратная теорема виета
теорема виета для кубических уравнений

Формула теоремы Виета

Теорема Виета была открыта французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке. Она позволяет находить сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Для приведенного квадратного уравнения вида:

x^{2} + p x + q = 0

с корнями $x 1$ и $x 2$ выполняются следующие соотношения:

Сумма корней

x 1 + x 2 = - p

Произведение корней

x 1 \cdot x 2 = q

Для полного квадратного уравнения вида:

a x^{2} + b x + c = 0

корни $x 1$ и $x 2$ удовлетворяют соотношениям:

Сумма корней

x 1 + x 2 = - \frac{b}{a}

Произведение корней

x 1 \cdot x 2 = \frac{c}{a}

Доказательство теоремы Виета

Дано: квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ с корнями $x 1$ и $x 2$ .

Доказательство:

По формуле корней квадратного уравнения: $x 1 = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2}, x 2 = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2}$
Найдем сумму корней: $x 1 + x 2 = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} + (- b) - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2} = \frac{- 2 b}{2} = - \frac{b}{a}$
Найдем произведение корней: $x 1 \cdot x 2 = \frac{(- b) 2 - (\sqrt{b^{2} - 4 a c}) 2}{4} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4} = \frac{c}{a}$

Таким образом, теорема доказана. Для приведенного уравнения ( $a = 1$ ) получаем:

x 1 + x 2 = - b

x 1 \cdot x 2 = c

Примеры решения задач

Пример 1. Нахождение корней по теореме Виета

Дано: уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Решение:

По теореме Виета:

x 1 + x 2 = 5

x 1 \cdot x 2 = 6

Подбираем числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6:

$x 1 = 2$ , $x 2 = 3$

Ответ: $x 1 = 2$ , $x 2 = 3$

Пример 2. Составление уравнения по корням

Дано: корни уравнения $x 1 = - 4$ и $x 2 = 7$

Решение:

Найдем сумму и произведение корней:

S = x 1 + x 2 = - 4 + 7 = 3

P = x 1 \cdot x 2 = (- 4) \cdot 7 = - 28

По теореме Виета для приведенного уравнения:

p = - S = - 3, q = P = - 28

Ответ: уравнение $x^{2} - 3 x - 28 = 0$

Пример 3. Нахождение параметра

Дано: уравнение $x^{2} + p x + 12 = 0$ имеет корни $x 1$ и $x 2$ , причем $x 1 = 3$ . Найдите $p$ и второй корень.

Решение:

По теореме Виета:

x 1 \cdot x 2 = 12

Подставляем $x 1 = 3$ :

3 \cdot x 2 = 12 \Rightarrow x 2 = 4

Находим сумму корней:

x 1 + x 2 = 3 + 4 = 7

По теореме Виета:

p = - (x 1 + x 2) = - 7

Ответ: $p = - 7$ , второй корень $x 2 = 4$

Обратная теорема Виета

Обратная теорема Виета позволяет определить, являются ли два числа корнями квадратного уравнения.

Формулировка: Если числа $m$ и $n$ таковы, что $m + n = - p$ , $m \cdot n = q$ , то эти числа являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .

Пример использования обратной теоремы

Дано: числа $2$ и $5$ . Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются эти числа.

Решение:

Находим сумму и произведение:

S = 2 + 5 = 7, P = 2 \cdot 5 = 10

Тогда $p = - S = - 7$ , $q = P = 10$ .

Ответ: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$

Теорема Виета для кубических уравнений

Теорема Виета обобщается и на уравнения более высоких степеней. Для кубического уравнения: $x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$

с корнями $x 1$ , $x 2$ и $x 3$ выполняются соотношения:

Сумма корней

x 1 + x 2 + x 3 = - p

Сумма попарных произведений

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q

Произведение корней

x 1 \cdot x 2 \cdot x 3 = - r

Пример для кубического уравнения

Дано: уравнение $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

Решение: По теореме Виета для кубического уравнения:

x 1 + x 2 + x 3 = 6

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 11

x 1 x 2 x 3 = 6

Подбираем числа: $1$ , $2$ и $3$ .

Ответ: корни уравнения: $x 1 = 1$ , $x 2 = 2$ , $x 3 = 3$

Часто задаваемые вопросы о теореме Виета

Как звучит теорема Виета для квадратного уравнения?

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение корней равно q. Для полного уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна -b/a, произведение равно c/a.

Когда применяется теорема Виета?

Теорема Виета применяется для нахождения корней квадратного уравнения без вычисления дискриминанта, для составления уравнения по известным корням, для проверки правильности найденных корней, а также для решения задач с параметрами.

В чем отличие прямой и обратной теоремы Виета?

Прямая теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней по коэффициентам уравнения. Обратная теорема Виета позволяет определить, являются ли два числа корнями уравнения, и составить уравнение по заданным корням.

Для каких уравнений работает теорема Виета?

Теорема Виета работает для квадратных уравнений (ax² + bx + c = 0), а также для уравнений высших степеней: кубических (x³ + px² + qx + r = 0) и уравнений n-й степени.

Как найти корни квадратного уравнения по теореме Виета?

Чтобы найти корни по теореме Виета, нужно подобрать два числа, сумма которых равна -p, а произведение равно q (для приведенного уравнения). Например, для уравнения x² - 5x + 6 = 0: сумма корней = 5, произведение = 6, значит корни: 2 и 3.

📚 Читайте также:

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике