Теорема о вписанном угле

• Соедеиним точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые.
  Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∡1 = ∡2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.)
• ∡AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∡AOC равен сумме ∡1 и ∡2. ∡1 и ∡2 — одинаковые. $\mathrm{\measuredangle AOC}=2·\mathrm{\measuredangle 1}$
  А значит $\mathrm{\measuredangle 1}=\frac{1}{2}\mathrm{\measuredangle AOC}$
  А ∡AOC — центральный и равен дуге.
  Значит, угол ∡1 (∡ABC) равен половине дуги AC:
  $\mathrm{\measuredangle ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{AOC}$

Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO, получим два угла (∡1 и ∡2), у которых одна сторона проходит через центр окружности.
  Выше было доказано, что вписанный угол равен подовине дуги, на которую он опирается. Так $\mathrm{\measuredangle 1}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}$
  ∡2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  $\mathrm{\measuredangle 2}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}$
  
• Теперь, если сложить ∡1 и ∡2 получится ∡ABC.
  $\mathrm{\measuredangle ABC}=\mathrm{\measuredangle 1}+\mathrm{\measuredangle 2}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$
  

Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO.
  В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен подовине дуги, на которую он опирается. Так $\mathrm{\measuredangle ABD}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}$
  
• Ещё одни угол, сторона которого проходит через центр — ∡CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается.
  $\mathrm{\measuredangle CBD}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}$
  
• Теперь, если из большого угла ∡ABD вычесть ∡CBD получится ∡ABC.
  $\mathrm{\measuredangle ABC}=\mathrm{\measuredangle ABD}-\mathrm{\measuredangle CBD}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}-\frac{1}{2}\mathrm{CD}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$