Теорема о вписанном угле

• Соединим точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые. Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∠ 1 = ∠ 2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.)
• ∠ AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∠ AOC равен сумме ∠ 1 и ∠ 2. ∠ 1 и ∠ 2 — одинаковые. А значит ∠ 1 = ½ ∠ AOC. А ∠ AOC — центральный и равен дуге. Значит, угол ∠ 1 (∠ ABC) равен половине дуги AC:

Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO, получим два угла (∠ 1 и ∠ 2), у которых одна сторона проходит через центр окружности. Выше было доказано, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Так ∠ 1 = ½ AD. ∠ 2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. ∠ 2 = ½ DC.
• Теперь, если сложить ∠ 1 и ∠ 2 получится ∠ ABC. ∠ ABC = ∠ 1 + ∠ 2 = ½ AC.

Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO. В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен половине дуги, на которую он опирается. Так ∠ ABD = ½ AD.
• Ещё один угол, сторона которого проходит через центр — ∠ CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается. ∠ CBD = ½ CD.
• Теперь, если из большого угла ∠ ABD вычесть ∠ CBD получится ∠ ABC. ∠ ABC = ∠ ABD − ∠ CBD = ½ AD − ½ CD = ½ AC.