Теорема о вписанном угле

Необходимо доказать, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Существет три варианта расположения вписанного угла:


Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности
Теорема о вписанном угле. Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности. Доказательство
  • Соедеиним точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые.
    Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∡1 = ∡2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.)
  • ∡AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∡AOC равен сумме ∡1 и ∡2. ∡1 и ∡2 — одинаковые. ∡AOC=2·∡1
    А значит ∡1=12∡AOC
    А ∡AOC — центральный и равен дуге.
    Значит, угол ∡1 (∡ABC) равен половине дуги AC:
    ∡ABC=12AOC

Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центр окружности находится внутри вписанного угла

Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится внутри вписанного угла
Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится внутри вписанного угла. Доказательство
  • Проведём луч BO, получим два угла (∡1 и ∡2), у которых одна сторона проходит через центр окружности.
    Выше было доказано, что вписанный угол равен подовине дуги, на которую он опирается. Так ∡1=12AD
    ∡2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
    ∡2=12DC
  • Теперь, если сложить ∡1 и ∡2 получится ∡ABC.
    ∡ABC=∡1+∡2=12AC

Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центр окружности находится вне вписанного угла

Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится вне вписанного угла
Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится вне вписанного угла. Доказательство
  • Проведём луч BO.
    В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен подовине дуги, на которую он опирается. Так ∡ABD=12AD
  • Ещё одни угол, сторона которого проходит через центр — ∡CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается.
    ∡CBD=12CD
  • Теперь, если из большого угла ∡ABD вычесть ∡CBD получится ∡ABC.
    ∡ABC=∡ABD-∡CBD=12AD-12CD=12AC

Для всех трёх случаев было доказано, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

  • Коротко о важном
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике