Теорема о вписанном угле
Необходимо доказать, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Существет три варианта расположения вписанного угла:
- вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности
- центр окружности находится внутри вписанного угла
- центр окружности находится вне вписанного угла
Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности


- Соедеиним точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые.
Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∡1 = ∡2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.) - ∡AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∡AOC равен сумме ∡1 и ∡2. ∡1 и ∡2 — одинаковые.
А значит
А ∡AOC — центральный и равен дуге.
Значит, угол ∡1 (∡ABC) равен половине дуги AC:
Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центр окружности находится внутри вписанного угла


- Проведём луч BO, получим два угла (∡1 и ∡2), у которых одна сторона проходит через центр окружности.
Выше было доказано, что вписанный угол равен подовине дуги, на которую он опирается. Так
∡2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Теперь, если сложить ∡1 и ∡2 получится ∡ABC.
Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центр окружности находится вне вписанного угла


- Проведём луч BO.
В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен подовине дуги, на которую он опирается. Так - Ещё одни угол, сторона которого проходит через центр — ∡CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается.
- Теперь, если из большого угла ∡ABD вычесть ∡CBD получится ∡ABC.
Для всех трёх случаев было доказано, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Коротко о важном
- Таблицы
- Формулы
- Формулы по геометрии
- Теория по математике