Теорема о вписанном угле

Необходимо доказать, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Существет три варианта расположения вписанного угла:


Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности
Теорема о вписанном угле. Вписанный угол проходит одной стороной через центр окружности. Доказательство
  • Соедеиним точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые.
    Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∠ 1 = ∠ 2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.)
  • ∠ AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∠ AOC равен сумме ∠ 1 и ∠ 2. ∠ 1 и ∠ 2 — одинаковые. ∠ AOC=2·∠ 1
    А значит ∠ 1=12∠ AOC
    А ∠ AOC — центральный и равен дуге.
    Значит, угол ∠ 1 (∠ ABC) равен половине дуги AC:
    ∠ ABC=12AOC

Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центр окружности находится внутри вписанного угла

Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится внутри вписанного угла
Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится внутри вписанного угла. Доказательство
  • Проведём луч BO, получим два угла (∠ 1 и ∠ 2), у которых одна сторона проходит через центр окружности.
    Выше было доказано, что вписанный угол равен подовине дуги, на которую он опирается. Так ∠ 1=12AD
    ∠ 2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
    ∠ 2=12DC
  • Теперь, если сложить ∠ 1 и ∠ 2 получится ∠ ABC.
    ∠ ABC=∠ 1+∠ 2=12AC

Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центр окружности находится вне вписанного угла

Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится вне вписанного угла
Теорема о вписанном угле. Центр окружности находится вне вписанного угла. Доказательство
  • Проведём луч BO.
    В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен подовине дуги, на которую он опирается. Так ∠ ABD=12AD
  • Ещё одни угол, сторона которого проходит через центр — ∠ CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается.
    ∠ CBD=12CD
  • Теперь, если из большого угла ∠ ABD вычесть ∠ CBD получится ∠ ABC.
    ∠ ABC=∠ ABD-∠ CBD=12AD-12CD=12AC

Для всех трёх случаев было доказано, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

  • Коротко о важном
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике