Теорема о вписанном угле

• Соедеиним точки O и A. Радиусы у окружности — одинаковые.
  Это означает, что ∆ABO — равнобедренный, и ∠ 1 = ∠ 2. (У равнобедренного треугольника углы при основании равны.)
• ∠ AOC — внешний для ∆AOB. А внешний угол равен сумме двух других несмежных с ним углов, ∠ AOC равен сумме ∠ 1 и ∠ 2. ∠ 1 и ∠ 2 — одинаковые. $\mathrm{\angle \; AOC}=2·\mathrm{\angle \; 1}$
  А значит $\mathrm{\angle \; 1}=\frac{1}{2}\mathrm{\angle \; AOC}$
  А ∠ AOC — центральный и равен дуге.
  Значит, угол ∠ 1 (∠ ABC) равен половине дуги AC:
  $\mathrm{\angle \; ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{AOC}$

Мы доказали: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO, получим два угла (∠ 1 и ∠ 2), у которых одна сторона проходит через центр окружности.
  Выше было доказано, что вписанный угол равен подовине дуги, на которую он опирается. Так $\mathrm{\angle \; 1}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}$
  ∠ 2 — тоже вписанный, у него одна сторона проходит через центр окружности. И тоже было доказано, что этот вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  $\mathrm{\angle \; 2}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}$
  
• Теперь, если сложить ∠ 1 и ∠ 2 получится ∠ ABC.
  $\mathrm{\angle \; ABC}=\mathrm{\angle \; 1}+\mathrm{\angle \; 2}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$
  

Мы снова доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Проведём луч BO.
  В первом случае было доказано, что вписанный угол, у которого одна сторона проходит через центр, равен подовине дуги, на которую он опирается. Так $\mathrm{\angle \; ABD}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}$
  
• Ещё одни угол, сторона которого проходит через центр — ∠ CBD, тоже равен половине дуги, на которую он опирается.
  $\mathrm{\angle \; CBD}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}$
  
• Теперь, если из большого угла ∠ ABD вычесть ∠ CBD получится ∠ ABC.
  $\mathrm{\angle \; ABC}=\mathrm{\angle \; ABD}-\mathrm{\angle \; CBD}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}-\frac{1}{2}\mathrm{CD}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$