最大公约数与最小公倍数

两个数的 GCD（最大公约数）是指这两个数都能被其整除的最大自然数。

记法：GCD(a, b)。例如，GCD(12, 18) = 6。

两个数的 LCM（最小公倍数）是指能同时被这两个数整除的最小自然数。

记法：LCM(a, b)。例如，LCM(12, 18) = 36。

方法 1——质因数分解：

• 将两个数分解为质因数；
• 选取公共因数；
• 将它们相乘——即为 GCD。

例如：GCD(24, 36)。24 = 2³ · 3，36 = 2² · 3²。公共因数：2² · 3 = 12。所以 GCD(24, 36) = 12。

方法 2——欧几里得算法：用较大数除以较小数，再用较小数除以余数，如此直到余数为零。最后一个非零余数即为 GCD。

方法 1——质因数分解：

• 将两个数分解为质因数；
• 选取至少在其中一个分解中出现过的所有因数，取最大指数；
• 将它们相乘——即为 LCM。

例如：LCM(24, 36)。24 = 2³ · 3，36 = 2² · 3²。最大指数：2³ · 3² = 72。所以 LCM(24, 36) = 72。

方法 2——通过 GCD：LCM(a, b) = (a · b) / GCD(a, b)。

GCD 与 LCM 在处理分数时广泛使用：

• GCD——用于分数约分（分子和分母同时除以 GCD）；
• LCM——用于通分（公分母即分母的 LCM）；
• LCM 还用于解决运动、工作和共同行动的问题。

计算 GCD 与 LCM 的示例：

• GCD(12, 18) = 6，LCM(12, 18) = 36；
• GCD(8, 12) = 4，LCM(8, 12) = 24；
• GCD(7, 11) = 1，LCM(7, 11) = 77（互质数）。