Формулы и свойства логарифмов — полная шпаргалка

📥 Скачать шпаргалку "Формулы и свойства логарифмов" 📥
Подходит для печати и использования на экзаменах

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, обратная возведению в степень. Логарифм числа b по основанию a (log_a b) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Условия: b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Как решить логарифм на практике:

Чтобы найти значение log₂8, нужно ответить на вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» Ответ: 2³ = 8, значит log₂8 = 3.

Аналогично: log₃81 = 4, потому что 3⁴ = 81.

Виды логарифмов

Логарифм положительного числа b по основанию a (log_a b) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Примеры логарифмов:

${log}_{2} 8 = 3$ (логарифм $8$ по основанию 2), так как $2^{3} = 8$

${log}_{7} 49 = 2$ (логарифм $49$ по основанию 7), так как $7^{2} = 49$

${log}_{5} \frac{1}{5} = -1$ (логарифм $\frac{1}{5}$ по основанию 5), так как $5^{-1} = \frac{1}{5}$

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

$lg b$ — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, $a = 10$ )

Примеры десятичных логарифмов:

$lg 100 = 2$ — десятичный логарифм ста, так как 10² = 100.

$lg 1000 = 3$ , так как 10³ = 1000.

Натуральный логарифм

$ln b$ — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, $a = e$ ), где e ≈ 2.718.

Пример: ln(e²) = 2, так как e² = e².

Важно: Натуральный логарифм часто используется в высшей математике, физике и экономике.

Формулы и свойства логарифмов

Для любых $a > 0$ , $a \neq 1$ и $b > 0$ , $x > 0$ , $y > 0$ выполняются следующие свойства логарифмов.

Основное логарифмическое тождество

Основание a, возведенное в степень логарифма с основанием a, будет равно b.

Пример: Пример: 2^log₂8 = 2³ = 8.

a^{{log}_{a} b} = b

Логарифм единицы

Логарифмический ноль. Какое бы ни было основание логарифма, если в аргументе стоит 1, то логарифм всегда равен 0.

Пример: Пример: log₅1 = 0, так как 5⁰ = 1.

{log}_{a} 1 = 0

Логарифм числа, равного основанию

Логарифмическая единица. Если аргумент и основание логарифма одинаковы, то значение логарифма будет равно единице.

Пример: Пример: log₇7 = 1, так как 7¹ = 7.

{log}_{a} a = 1

Логарифм числа, обратного основанию

Если аргумент логарифма имеет значение обратное основанию, то значение логарифма будет равно -1.

Пример: Пример: log₃(1/3) = -1, так как 3⁻¹ = 1/3.

{log}_{a} \frac{1}{a} = - 1

Логарифм произведения двух положительных чисел

Сумма логарифмов. При умножении логарифмируемых чисел, можно сделать из них сумму 2-х логарифмов, у которых будут одинаковые основания.

Пример: Пример: log₂(8·4) = log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5.

{log}_{a} (x \cdot y) = {log}_{a} x + {log}_{a} y

Логарифм частного

Логарифм частного. При делении чисел мы получаем разность двух логарифмов с одинаковым основанием.

Пример: Пример: log₂(8/4) = log₂8 - log₂4 = 3 - 2 = 1.

{log}_{a} \frac{x}{y} = {log}_{a} x - {log}_{a} y

{log}_{a} \frac{1}{y} = {- log}_{a} y

Логарифм степени положительного числа

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Пример: Пример: log₂8³ = 3·log₂8 = 3·3 = 9.

{log}_{a} x^{n} = n {log}_{a} x

Логарифм корня числа

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

Пример: Пример: log₅√25 = log₅25 / 2 = 2/2 = 1.

{log}_{a} \sqrt[n]{x} = \frac{{log}_{a} x}{n}

Основание логарифма в степени

Пример: Пример: log₄64 = log₂64 / 2 = 6/2 = 3.

{log}_{a^{n}} x = \frac{{log}_{a} x}{n}

, при

n \neq 0

Пример: Пример: log₂8 = log₄8² = log₄64 = 3.

{log}_{a} x = {log}_{a^{c}} x^{c}

Формула перехода к новому основанию

Позволяет перейти от логарифма с одним основанием к логарифму с другим.

Пример: Пример: log₂8 = log₁₀8 / log₁₀2 ≈ 0.903 / 0.301 = 3.

{log}_{a} x = \frac{{log}_{b} x}{{log}_{b} a}

{log}_{a} x = \frac{1}{{log}_{x} a}

Производная логарифма

Производная логарифмической функции по основанию равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

Пример: Пример: (log₂x)' = 1/(x·ln2).

({log}_{a}, x)' = \frac{1}{x ln a}

График логарифмов

Двигая ползунок, вы измените основание логарифма, что отразится на форме графика. При a = e (≈ 2.718) получается натуральный логарифм, при a = 10 — десятичный.

y = log₂ x

Часто задаваемые вопросы о логарифмах

Что такое логарифм простыми словами?

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8. Проще говоря, это ответ на вопрос: «В какую степень надо возвести число a, чтобы получить b?»

Чем отличаются десятичный и натуральный логарифм?

Десятичный логарифм имеет основание 10 (обозначается lg), а натуральный — основание e ≈ 2.718 (обозначается ln). Десятичный логарифм часто используется в инженерных расчётах, натуральный — в высшей математике, физике и экономике.

Какие основные свойства логарифмов нужно знать для ЕГЭ?

Основные свойства: логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного — разности логарифмов, логарифм степени — произведению показателя на логарифм. Также важно помнить, что logₐa = 1 и logₐ1 = 0. Все эти свойства представлены в таблице выше.

Как перейти от одного основания логарифма к другому?

Для перехода к новому основанию используется формула: logₐx = logᵦx / logᵦa. Например, log₂8 = log₁₀8 / log₁₀2 ≈ 0.903 / 0.301 = 3. Это полезно, когда нужно вычислить логарифм на калькуляторе, который поддерживает только десятичные логарифмы.

📚 Читайте также: