Формулы сокращённого умножения: полная таблица ФСУ

📌 Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это 7 основных формул, которые помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов. Используются в алгебре при решении уравнений и упрощении выражений.

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это правила, позволяющие быстро выполнять умножение многочленов, разлагать выражения на множители и упрощать вычисления. Они широко используются в алгебре, при решении уравнений и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Формулы сокращённого умножения — часто встречающиеся случаи умножения многочленов, используются для разложения многочленов на множители, упрощения выражений, приведения многочленов к стандартному виду. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Быстрая шпаргалка по формулам сокращённого умножения

Формула	Результат
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
a² − b²	(a − b)(a + b)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³	a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)

Формулы для квадратов (2 степень)
Формулы для кубов (3 степень)
Формулы для 4 степени
Формулы для n-ой степени
Примеры использования

Формулы для квадратов (2 степень)

Квадрат суммы

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Квадрат разности

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Формулы для кубов (3 степень)

Куб суммы

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Куб разности

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Сумма кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Разность кубов

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Формулы для 4 степени

{(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}

{(a - b)}^{4} = a^{4} - 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + b^{4}

a^{4} - b^{4} = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})

Формулы для n-ой степени

{(a + b)}^{n} = a^{n} + n a^{n - 1} b + n (n - 1) 2 a^{n - 2} b^{2} + ... + n! k! (n - k)! a^{n - k} b^{k} + ... + b^{n}

{(a - b)}^{n} = a^{n} - n a^{n - 1} b + n (n - 1) 2 a^{n - 2} b^{2} + ... + {(- 1)}^{k} n! k! (n - k)! a^{n - k} b^{k} + ... + {(- 1)}^{n} b^{n}

Примеры использования формул сокращённого умножения

Пример 1: Квадрат суммы

$(3 x + 2) 2 = (3 x) 2 + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4$

Пример 2: Разность квадратов

$25 x^{2} - 16 = (5 x) 2 - 4^{2} = (5 x - 4) (5 x + 4)$

Пример 3: Куб суммы

$(2 a + 1) 3 = (2 a) 3 + 3 \cdot (2 a) 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 a \cdot 1^{2} + 1^{3} = 8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1$

📚 Читайте также: