Правильный многоугольник


Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

правильный многоугольник

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a1=a2=a3==an-1=an ,

α1=α2=α3==αn-1=αn

где a1an — длины сторон правильного многоугольника,
α1αn — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

  1. Все стороны равны: a1=a2=a3==an-1=an
  2. Все углы равны: α1=α2=α3==αn-1=αn
  3. Центр вписанной окружности Oв совпадает с центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O.
  4. Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
  5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3++βn-1+βn=360°
  6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
  7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
  8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·tg180°n (через градусы),

a = 2·r·tgπn (через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2·R·sin180°n (через градусы),

a = 2·R·sinπn (через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a:2·tg180°n (через градусы),

r = a:2·tgπn (через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a:2·sin180°n (через градусы),

R = a:2·sinπn (через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S = n·a24·ctg180°n

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S = n·r2·tg180°n

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S = n·R22·sin360°n

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P = n·a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

αn = n-2n·180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

правильный треугольник

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a = 2·r·3

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a = R·3
r = a·36
R = a·33

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S = a2·34

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·3·3

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·34

Углы между сторонами правильного треугольника

α1=α2=α3=60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

правильный четырехугольник

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a = 2·r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a = R·2

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r = a2

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R = a·22

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S = a2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S = 4·r2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S = 2·R2

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α1=α2=α3=α4=90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

правильный шестиугольник

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·33

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r = a·32

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = a2·3·32

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·2·3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·32

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·2-1

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a = R·2-2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r = a·2+12

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R = a·4+222

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S = a2·2·2+1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·8·2-1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·2·2

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике