Правильный многоугольник

формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
формулы правильного n-угольника
правильный треугольник
правильный четырехугольник
правильный шестиугольник
правильный восьмиугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a_{1} = a_{2} = a_{3} = \dots = a_{n-1} = a_{n}

α_{1} = α_{2} = α_{3} = \dots = α_{n-1} = α_{n}

где a₁…a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α₁…α_n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

Все стороны равны: $a_{1} = a_{2} = a_{3} = \dots = a_{n-1} = a_{n}$
Все углы равны: $α_{1} = α_{2} = α_{3} = \dots = α_{n-1} = α_{n}$
Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O.
Сумма всех углов n-угольника равна: $180° \cdot (n - 2)$
Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: $β_{1} + β_{2} + β_{3} + \dots + β_{n-1} + β_{n} = 360°$
Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: $D_{n} = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$
В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: $S = \frac{π}{4} \cdot a^{2}$
Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2 \cdot r \cdot tg \frac{180°}{n}

(через градусы),

a = 2 \cdot r \cdot tg \frac{π}{n}

(через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2 \cdot R \cdot sin \frac{180°}{n}

(через градусы),

a = 2 \cdot R \cdot sin \frac{π}{n}

(через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a : (2 \cdot tg \frac{180°}{n})

(через градусы),

r = a : (2 \cdot tg \frac{π}{n})

(через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a : (2 \cdot sin \frac{180°}{n})

(через градусы),

R = a : (2 \cdot sin \frac{π}{n})

(через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S = \frac{n \cdot a^{2}}{4} \cdot ctg \frac{180°}{n}

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S = n \cdot r^{2} \cdot tg \frac{180°}{n}

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S = \frac{n \cdot R^{2}}{2} \cdot sin \frac{360°}{n}

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P = n \cdot a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

α_{n} = \frac{n - 2}{n} \cdot 180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a = 2 \cdot r \cdot \sqrt{3}

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a = R \cdot \sqrt{3}

r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}

R = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{3}

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S = r^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S = \frac{R^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}

Углы между сторонами правильного треугольника

α_{1} = α_{2} = α_{3} = 60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a = 2 \cdot r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a = R \cdot \sqrt{2}

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r = \frac{a}{2}

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S = a^{2}

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S = 4 \cdot r^{2}

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S = 2 \cdot R^{2}

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = 90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a = \frac{2 \cdot r \cdot \sqrt{3}}{3}

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = \frac{a^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2}

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = r^{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = \frac{R^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2}

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = α_{5} = α_{6} = 120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2 \cdot r \cdot (\sqrt{2} - 1)

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r = \frac{a \cdot (\sqrt{2} + 1)}{2}

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R = \frac{a \cdot \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}}{2}

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S = a^{2} \cdot 2 \cdot (\sqrt{2} + 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S = r^{2} \cdot 8 \cdot (\sqrt{2} - 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S = R^{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = α_{5} = α_{6} = α_{7} = α_{8} = 135°

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Натуральные числа.