Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы — часто встречающиеся математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента.


Тригонометрические функции

Синус

Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α

Косинус

Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α

Тангенс

Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tg α =sin αcos α , α π2 + πn , n є Z

Котангенс

Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

ctg α =cos αsin α , α π + πn , n є Z

Секанс

Секанс — это тригонометрическая функция обратная косинусу.

sec α =1cos α , α π2 + πn , n є Z

Косеканс

Косеканс — это тригонометрическая функция обратная синусу.

cosec α =1sin α , α π + πn , n є Z

Основные тригонометрические формулы

sin2 α + cos2 α = 1

tg α · ctg α = 1

1 + tg2 α =1cos2 α

1 + ctg2 α =1sin2 α

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Синус суммы двух углов

sinα + β = sin α · cos β + cos α · sin β

Синус разности двух углов

sinα - β = sin α · cos β - cos α · sin β

Косинус суммы двух углов

cosα + β = cos α · cos β - sin α · sin β

Косинус разности двух углов

cosα - β = cos α · cos β + sin α · sin β

Тангенс суммы двух углов

tgα + β =tg α + tg β1 tg α · tg β

Тангенс разности двух углов

tgα - β =tg α - tg β1 + tg α · tg β

Котангенс суммы двух углов

ctgα + β =ctg α · ctg β - 1ctg β + ctg α

Котангенс разности двух углов

ctgα - β =ctg α · ctg β + 1ctg β - ctg α

Тригонометрические функции двойного угла

Синус двойного угла

sin 2α = 2 sin α · cos α

Косинус двойного угла

cos 2α = cos2 α - sin2 α

Тангенс двойного угла

tg 2α =2 tg α1 - tg2 α

Котангенс двойного угла

ctg 2α =ctg2 α - 12 ctg α

Формулы тройного угла

Синус тройного угла

sin 3α = 3 sin α - 4 sin3 α

Косинус тройного угла

cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α

Тангенс тройного угла

tg 3α =3 tg α - tg3 α1 - 3 tg2 α

Котангенс тройного угла

ctg 3α =3 ctg α - ctg3 α1 - 3 ctg2 α

Формулы понижения степени

sin2 α =1 - cos 2α2

cos2 α =1 + cos 2α2

sin3 α =3 sin α - sin 3α4

cos3 α =3 cos α + cos 3α4

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

sin α + sin β = 2 sinα + β2 · cosα - β2

sin α - sin β = 2 sinα - β2 · cosα + β2

cos α + cos β = 2 cosα + β2 · cosα - β2

cos α - cos β = -2 sinα + β2 · sinα - β2

tg α + tg β =sin α + βcos α · cos β

tg α - tg β =sin α - βcos α · cos β

ctg α + ctg β =sin α + βsin α · sin β

ctg α - ctg β =sin β - αsin α · sin β

a sin α + b cos α = r sin α + φ ,

где r2 = a2 + b2 , sin φ =br , tg φ =ba

Формулы преобразования произведений функций

sin α · sin β = cosα - β - cosα + β2

sin α · cos β = sinα + β + sinα - β2

cos α · cos β = cosα + β + cosα - β2

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α =2 tgα21 + tg2 α2

cos α =1 - tg2 α21 + tg2 α2

tg α =2 tgα21 - tg2 α2

ctg α =1 - tg2 α22 tgα2
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике