Теорема Пифагора

Для того, чтобы доказать теорему Пифагора, мы рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Достроим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c до квадрата следующим образом: катет длиной a мы достраиваем на расстояние b.

Из конца получившегося отрезка a+b проводим перпендикуляр на расстояние a.

Объединив точки A и A', получаем исходный треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично достраиваем с других сторон. Получается квадрат со стороной a+b.

Мы знаем:

• Площадь квадрата со стороной a+b равна квадрату стороны (a+b).
• Квадрат состоит их четырех одинаковых прямоугольных треугольников и внутренней фигуры — квадрата. Площадь каждого прямоугольного треугольника — половина произведения его катетов.
• Внутренняя фигура — квадрат имеет стороны c.
  Докажем, что внутренняя фигура — это квадрат.
  У фигуры все стороны равны — значит это ромб. Если доказать, что один угол является прямым, то все остальные углы будут прямыми.
  Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что острые углы прямоугольного треугольника равны 90°.
  $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{90°}$
  Т.к. все показанные треугольники равны, то $\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{\measuredangle 2"}$ и $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2"}=\mathrm{90°}$
  Отсюда следует, что $\mathrm{180°}-\left(\mathrm{\measuredangle 1\text{'}},+,\mathrm{\measuredangle 2"}\right)=\mathrm{90°}$ — это угол между сторонами внутренней фигуры — ромба.
  В нашем случае было доказано, что этот ромб является квадратом.

Преобразовав описанное выше в формулу, получаем:

Раскроем формулу квадрата суммы:

Сокращаем 2ab:

Получаем:

Мы доказали теорему Пифагора.

Египетский треугольник

Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Требуется найти его гипотенузу.

Решение:
Обозначим гипотенузу как c и воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы:
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$25=c^2$
$c=5$

Ответ: гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами с катетами 3 и 4 равна 5.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

Пифагорова тройка

Дано:
Гипотенуза равна 13, а один из катетов равен 12.

Требуется найти второй катет.

Решение:
Обозначим второй катет как a и снова воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы:
${12}^2+a^2={13}^2$
$144+a^2=169$
$a^2=169-144$
$a^2=25$
$a=5$

Ответ: второй катет a прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и одним из катетов 12 равен 5.

Обратите внимание, что в первом и втором примерах стороны треугольников получились целыми числами. Такие числа, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называются пифагоровыми тройками.

Равнобедренная трапеция

Дано:
Равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно 4, боковая сторона равна 10, нижнее основание равно 20.

Требуется найти площадь трапеции S.

Решение:

Обозначим углы трапеции точками A, B, C, D. Из точек B и C опустим перпендикуляры на сторону AD в точки E и K соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник BCKE. Этот четырёхугольник является прямоугольником. Стороны BC и EK взаимно параллельны, и стороны BE и CK тоже взаимно параллельны, причём один из углов прямоугольника BCKE имеет 90°. Это доказывает, что прямоугольник BCKE является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны. Если отрезок BC равен 4, то EK тоже равен 4.

Так как наша трапеция равнобокая, то левый и правый треугольники равны между собой, т.к. имеют одинаковые катеты и одинаковые гипотенузы. По признакам равенства прямоугольных треугольников они равны. Это означает, что отрезки AE и KD равны между собой.

Отрезок AD равен 20, отрезок EK равен 4. Значит, на отрезки (AE+KD) остаётся $20-4=16$. Значит, каждый из них равен 8.

Рассмотрим любой из треугольников, например, ABE. Он является прямоугольным. Один из катетов равен 8, а гипотенуза равна 10.

По теореме Пифагора можем найти BE. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
${\mathrm{BE}}^2+8^2={10}^2$
${\mathrm{BE}}^2+64=100$
${\mathrm{BE}}^2=100-64$
${\mathrm{BE}}^2=36$
$\mathrm{BE}=6$
Таким образом мы нашли высоту трапеции.

Теперь можно найти площадь трапеции S.
Площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту трапеции.

Ответ: площадь трапеции S равна 72.

Расчет стропильной системы крыши

Задача крайне упрощённая для точных расчётов стропильной системы крыши, но достаточно понятная, чтобы донести принципы расчёта по теореме Пифагора.

Дано:
Расстояние между мауэрлатом (M) и лежнем (L) (они лежат на стенах) известно и равно 5 метрам.
Крыша покрыта металлочерепицей, минимальный рекомендуемый угол наклона которой является 22,5°.
Стойка (h) расположена строго перпендикулярно лежню (L)

Требуется найти длину стропила (g) и высоту стойки (h).

Решение:

Чтобы найти высоту стойки (h) можно применить теорему синусов. Для этого необходимо найти угол, который лежит против известной стороны. Зная, что сумма углов треугольника равна 180° вычисляем угол, лежащий против известной стороны ML
$\mathrm{180°}-\mathrm{90°}-\mathrm{22,5°}=\mathrm{67,5°}$

Теперь подставляем в формулу известные значения для определения высоты стойки (h) по теореме синусов:
$\frac{sin\mathrm{22,5°}}{h}=\frac{sin\mathrm{67,5°}}{\mathrm{ML}}$

$h=\frac{5·sin\mathrm{22,5°}}{sin\mathrm{67,5°}}=2.0710678118655$

Также по теореме синусов можно найти и длину (g), но нас интересует теорема Пифагора.

Поэтому зная, что квадрат гипотенузы (в нашем случае это g) равен сумме квадратов катетов (в нашем случае это h и расстояние между точками ML), получаем:

Подставляя в формулу ранее вычисленные и известные значения, получаем:

$g=5.411961001462$

Ответ: полученные значения исчисляются в метрах. В строительстве округление до миллиметров таких деталей — более чем точно. Поэтому округляя значения стропилы g и стойки h, получаем:

$g\approx 5412$мм

$h\approx 2071$мм

Египетский треугольник

Ещё одним примером практического применения теоремы Пифагора в строительстве может служить использование египетского треугольника.

Чтобы на плоской поверхности вывести угол 90°, необходимо взять верёвку и отложить на ней три расстояния: 3, 4, 5. И не важно в каких единицах измерения будут отрезки, возможно эти единицы измерения будут выдуманными вами.

Соедините верёвку в треугольник, как показано на изображении, и натяните стороны полученного треугольника.

Угол между сторонами 3, 4 всегда будет равен 90°. По нему можно разметить стены или фундамент будущего дома.