Теорема Пифагора: формула, доказательство и задачи с решениями

Для того, чтобы доказать теорему Пифагора, мы рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Достроим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c до квадрата следующим образом: катет длиной a мы достраиваем на расстояние b.

Из конца получившегося отрезка a+b проводим перпендикуляр на расстояние a.

Объединив точки A и A', получаем исходный треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично достраиваем с других сторон. Получается квадрат со стороной a+b.

Мы знаем:

• Площадь квадрата со стороной a+b равна квадрату стороны (a+b).
• Квадрат состоит их четырех одинаковых прямоугольных треугольников и внутренней фигуры — квадрата. Площадь каждого прямоугольного треугольника — половина произведения его катетов.
• Внутренняя фигура — квадрат имеет стороны c.
  Докажем, что внутренняя фигура — это квадрат.
  У фигуры все стороны равны — значит это ромб. Если доказать, что один угол является прямым, то все остальные углы будут прямыми.
  Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что острые углы прямоугольного треугольника равны 90°.
  $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{90°}$
  Т.к. все показанные треугольники равны, то $\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{\measuredangle 2"}$ и $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2"}=\mathrm{90°}$
  Отсюда следует, что $\mathrm{180°}-\left(\mathrm{\measuredangle 1\text{'}},+,\mathrm{\measuredangle 2"}\right)=\mathrm{90°}$ — это угол между сторонами внутренней фигуры — ромба.
  В нашем случае было доказано, что этот ромб является квадратом.

Преобразовав описанное выше в формулу, получаем:

Раскроем формулу квадрата суммы:

Сокращаем 2ab:

Получаем:

Мы доказали теорему Пифагора.

Формулировка

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным, причём прямой угол лежит против самой большой стороны.

Если для сторон треугольника со сторонами a, b и c (где c — наибольшая сторона) выполняется равенство:

то треугольник прямоугольный и угол между сторонами a и b равен 90°.

Пример. Проверить, является ли треугольник прямоугольным

Дано:
Треугольник со сторонами 6, 7 и 9.

Решение:
Наибольшая сторона равна 9. Проверим, выполняется ли равенство:

$9^2=81$

$6^2+7^2=36+49=85$

Так как $81\ne 85$, равенство не выполняется.

Ответ: треугольник со сторонами 6, 7 и 9 не является прямоугольным.

Египетский треугольник

Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Требуется найти его гипотенузу.

Решение:
Обозначим гипотенузу как c и воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы:
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$25=c^2$
$c=5$

Ответ: гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами с катетами 3 и 4 равна 5.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

Пифагорова тройка

Дано:
Гипотенуза равна 13, а один из катетов равен 12.

Требуется найти второй катет.

Решение:
Обозначим второй катет как a и снова воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы:
${12}^2+a^2={13}^2$
$144+a^2=169$
$a^2=169-144$
$a^2=25$
$a=5$

Ответ: второй катет a прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и одним из катетов 12 равен 5.

Обратите внимание, что в первом и втором примерах стороны треугольников получились целыми числами. Такие числа, которые удовлетворяют теорему Пифагора, называются пифагоровыми тройками.

Найти гипотенузу

Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.

Требуется найти гипотенузу.

Решение:
Обозначим гипотенузу как c и применим теорему Пифагора:
$6^2+8^2=c^2$
$36+64=c^2$
$100=c^2$
$c=10$

Ответ: гипотенуза равна 10.

Найти катет

Дано:
Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6.

Требуется найти второй катет.

Решение:
Обозначим второй катет как b и применим теорему Пифагора:
$b^2+6^2={10}^2$
$b^2+36=100$
$b^2=100-36$
$b^2=64$
$b=8$

Ответ: второй катет равен 8.

Равнобедренная трапеция

Дано:
Равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно 4, боковая сторона равна 10, нижнее основание равно 20.

Требуется найти площадь трапеции S.

Решение:

Обозначим углы трапеции точками A, B, C, D. Из точек B и C опустим перпендикуляры на сторону AD в точки E и K соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник BCKE. Этот четырёхугольник является прямоугольником. Стороны BC и EK взаимно параллельны, и стороны BE и CK тоже взаимно параллельны, причём один из углов прямоугольника BCKE имеет 90°. Это доказывает, что прямоугольник BCKE является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны. Если отрезок BC равен 4, то EK тоже равен 4.

Так как наша трапеция равнобокая, то левый и правый треугольники равны между собой, т.к. имеют одинаковые катеты и одинаковые гипотенузы. По признакам равенства прямоугольных треугольников они равны. Это означает, что отрезки AE и KD равны между собой.

Отрезок AD равен 20, отрезок EK равен 4. Значит, на отрезки (AE+KD) остаётся $20-4=16$. Значит, каждый из них равен 8.

Рассмотрим любой из треугольников, например, ABE. Он является прямоугольным. Один из катетов равен 8, а гипотенуза равна 10.

По теореме Пифагора можем найти BE. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
${\mathrm{BE}}^2+8^2={10}^2$
${\mathrm{BE}}^2+64=100$
${\mathrm{BE}}^2=100-64$
${\mathrm{BE}}^2=36$
$\mathrm{BE}=6$
Таким образом мы нашли высоту трапеции.

Теперь можно найти площадь трапеции S.
Площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту трапеции.

Ответ: площадь трапеции S равна 72.

Расчет стропильной системы крыши

Задача крайне упрощённая для точных расчётов стропильной системы крыши, но достаточно понятная, чтобы донести принципы расчёта по теореме Пифагора.

Дано:
Расстояние между мауэрлатом (M) и лежнем (L) (они лежат на стенах) известно и равно 5 метрам.
Крыша покрыта металлочерепицей, минимальный рекомендуемый угол наклона которой является 22,5°.
Стойка (h) расположена строго перпендикулярно лежню (L)

Требуется найти длину стропила (g) и высоту стойки (h).

Решение:

Чтобы найти высоту стойки (h) можно применить теорему синусов. Для этого необходимо найти угол, который лежит против известной стороны. Зная, что сумма углов треугольника равна 180° вычисляем угол, лежащий против известной стороны ML
$\mathrm{180°}-\mathrm{90°}-\mathrm{22,5°}=\mathrm{67,5°}$

Теперь подставляем в формулу известные значения для определения высоты стойки (h) по теореме синусов:
$\frac{sin\mathrm{22,5°}}{h}=\frac{sin\mathrm{67,5°}}{\mathrm{ML}}$

$h=\frac{5·sin\mathrm{22,5°}}{sin\mathrm{67,5°}}=2.0710678118655$

Также по теореме синусов можно найти и длину (g), но нас интересует теорема Пифагора.

Поэтому зная, что квадрат гипотенузы (в нашем случае это g) равен сумме квадратов катетов (в нашем случае это h и расстояние между точками ML), получаем:

Подставляя в формулу ранее вычисленные и известные значения, получаем:

$g=5.411961001462$

Ответ: полученные значения исчисляются в метрах. В строительстве округление до миллиметров таких деталей — более чем точно. Поэтому округляя значения стропилы g и стойки h, получаем:

$g\approx 5412$мм

$h\approx 2071$мм

Египетский треугольник

Ещё одним примером практического применения теоремы Пифагора в строительстве может служить использование египетского треугольника.

Чтобы на плоской поверхности вывести угол 90°, необходимо взять верёвку и отложить на ней три расстояния: 3, 4, 5. И не важно в каких единицах измерения будут отрезки, возможно эти единицы измерения будут выдуманными вами.

Соедините верёвку в треугольник, как показано на изображении, и натяните стороны полученного треугольника.

Угол между сторонами 3, 4 всегда будет равен 90°. По нему можно разметить стены или фундамент будущего дома.