Теорема Ферма: Великая и Малая теоремы — формулировки, доказательства, история

Теорема Ферма — одна из самых известных теорем в истории математики. На этой странице вы найдете всё о Великой теореме Ферма (Последней теореме Ферма) и Малой теореме Ферма: формулировки, доказательства для частных случаев, историю поиска решения и современные достижения.

великая теорема ферма: формулировка
история теоремы ферма: от ферма до уайлса
доказательство для случая n = 4
частные случаи: n = 3, 5, 7 и n < 100
малая теорема ферма: формулировка и доказательства

Великая теорема Ферма: формулировка

Великая теорема Ферма (также известная как Последняя теорема Ферма) была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта.

Формулировка теоремы

$X^{n} + Y^{n} = Z^{n}$

Утверждение: при $n > 2$ уравнение $X^{n} + Y^{n} = Z^{n}$ не имеет решений в натуральных числах.

Ферма сделал следующую запись на полях книги:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Простота формулировки сделала эту теорему невероятно популярной — она понятна любому школьнику, но её доказательство оставалось недоступным для лучших умов мира на протяжении более 350 лет.

Сведение к простым показателям

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случаи, когда $n$ — простое число $p > 2$ , и случай $n = 4$ . Если теорема доказана для всех простых $p$ и для $n = 4$ , то она автоматически верна для всех составных $n$ .

История теоремы Ферма: от Ферма до Уайлса

Год	Математик	Достижение
1637	Пьер Ферма	Сформулировал теорему на полях «Арифметики» Диофанта
X век	ал-Ходжанди	Пытался доказать случай n=3, но доказательство не сохранилось
~1659	Пьер Ферма	Опубликовал доказательство для случая n=4 (метод бесконечного спуска)
1770	Леонард Эйлер	Доказал теорему для случая n=3
1825	Дирихле и Лежандр	Независимо доказали для n=5
1839	Габриель Ламе	Доказал для n=7
1847	Эрнст Куммер	Доказал для всех простых n < 100 (кроме 37, 59, 67)
1908	Вольфскель	Завещал 100 000 марок за доказательство
1986	Рибет	Доказал, что из гипотезы Таниямы–Симуры следует ВТФ
1993	Эндрю Уайлс	Объявил о доказательстве (обнаружен пробел)
1994–1995	Уайлс и Тейлор	Устранили пробел, опубликовали окончательное доказательство

Эндрю Уайлс посвятил доказательству теоремы 7 лет напряжённой работы в Принстонском университете. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в 1995 году в журнале «Annals of Mathematics».

«Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств».

Доказательство для случая n = 4

Случай $n = 4$ был доказан самим Ферма с помощью метода бесконечного спуска. Это единственный случай, для которого Ферма оставил полное доказательство.

Теорема

Уравнение $X^{4} + Y^{4} = Z^{2}$ не имеет решений в натуральных числах.

Идея доказательства (метод бесконечного спуска):

Предположим, что существует решение уравнения в натуральных числах.
Из этого решения можно построить другое решение с меньшими значениями переменных.
Повторяя этот процесс, мы получим бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Из отсутствия решений для $X^{4} + Y^{4} = Z^{2}$ следует отсутствие решений для $X^{4} + Y^{4} = Z^{4}$ .

Частные случаи: n = 3, 5, 7 и n < 100

Случай n = 3

Доказан Леонардом Эйлером в 1770 году. Эйлер использовал метод бесконечного спуска и теорию чисел вида $a + b \sqrt{- 3}$ .

Случай n = 5

Доказан независимо Дирихле и Лежандром в 1825 году.

Случай n = 7

Доказан Габриелем Ламе в 1839 году.

Случай n < 100

Эрнст Куммер в 1847 году доказал теорему для всех простых показателей $n < 100$ , за исключением так называемых иррегулярных простых чисел 37, 59 и 67.

«Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых 37, 59, 67».

Куммер ввёл понятие идеальных чисел и заложил основы современной алгебраической теории чисел.

Малая теорема Ферма: формулировка и доказательства

Малая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма в 1640 году. В отличие от Великой теоремы, она была доказана ещё при жизни Ферма и является фундаментальным результатом теории чисел.

Формулировка

Пусть $p$ — простое число, $a$ — целое число.

Эквивалентные формулировки:

$a^{p} \equiv a (mod p)$

или если $p ∤ a$ , то $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

Доказательство 1 (через бином Ньютона, индукция по a)

Это наиболее элементарное доказательство, доступное школьнику.

База индукции: при $a = 0$ утверждение очевидно: $0^{p} \equiv 0$ .

Шаг индукции: предположим, что $a^{p} \equiv a$ . Докажем для $a + 1$ :

$(a + 1) p = a^{p} + C^{1} p a^{p - 1} + \dots + C^{p - 1} p a + 1$ .

Все биномиальные коэффициенты $C^{k} p$ при $0 < k < p$ делятся на $p$ . Поэтому:

$(a + 1) p \equiv a^{p} + 1 \equiv a + 1 (mod p)$ .

Для отрицательных $a$ достаточно заметить, что при нечётном $p$ $(- a) p = - a^{p} \equiv - a$ , а при $p = 2$ утверждение очевидно.

Доказательство 2 (через группу ненулевых вычетов)

Более абстрактное, но очень красивое доказательство.

Рассмотрим поле $Z_{p}$ вычетов по модулю $p$ . Ненулевые элементы этого поля образуют мультипликативную группу порядка $p - 1$ .

По теореме Лагранжа порядок элемента группы делит порядок группы. Для любого $a$ , не делящегося на $p$ , его порядок в этой группе делит $p - 1$ , следовательно:

$a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$ .

Доказательство 3 (через систему вычетов)

Ещё одно элементарное доказательство.

Рассмотрим числа $a, 2 a, 3 a, \dots, (p - 1) a$ . Они дают все ненулевые остатки по модулю $p$ .

Перемножая их, получаем:

$a \cdot 2 a \cdot \dots \cdot (p - 1) a \equiv 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (p - 1) (mod p)$ .

Сокращая на $(p - 1)!$ , получаем:

$a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$ .

Доказательство 4 (комбинаторное, Петерсен, 1872)

Оригинальное доказательство, использующее раскраску бусин.

Пусть имеется $p$ предметов, расположенных по кругу, каждый из которых нужно раскрасить в один из $a$ цветов. Число всех раскрасок равно $a^{p}$ .

Одноцветных раскрасок — $a$ . Остальные разбиваются на классы по $p$ раскрасок (получаемых друг из друга поворотом).

Отсюда: $a^{p} - a$ делится на $p$ , то есть $a^{p} \equiv a (mod p)$ .

Применения малой теоремы Ферма

Проверка чисел на простоту (тест Ферма)
Криптография (алгоритм RSA)
Вычисление обратных элементов по модулю
Решение сравнений высокой степени

Часто задаваемые вопросы о теоремах Ферма

В чём разница между Великой и Малой теоремой Ферма?

Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в натуральных числах при n > 2. Малая теорема Ферма утверждает, что aᵖ ≡ a (mod p) для простого p. Малая теорема была доказана при жизни Ферма, а Великая — только в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Доказал ли сам Ферма свою Великую теорему?

Скорее всего, нет. Ферма оставил запись на полях книги, что у него есть чудесное доказательство, но поля слишком узки. Однако он опубликовал доказательство только для частного случая n=4. Большинство историков математики считают, что Ферма либо ошибался, либо имел доказательство для частного случая.

Кто и когда доказал Великую теорему Ферма?

Теорема была окончательно доказана Эндрю Уайлсом в 1994 году (опубликована в 1995). Доказательство основано на гипотезе Таниямы–Симуры и занимает около 130 страниц.

Какие частные случаи Великой теоремы Ферма были доказаны до Уайлса?

n=3 (Эйлер, 1770), n=4 (сам Ферма), n=5 (Дирихле и Лежандр, 1825), n=7 (Ламе, 1839), все простые n < 100 (Куммер, 1847). Также были доказаны все n до нескольких миллионов с помощью компьютерных вычислений.

Где применяется Малая теорема Ферма?

Малая теорема Ферма широко применяется в криптографии (алгоритм RSA), для проверки чисел на простоту (тест Ферма), для вычисления обратных элементов по модулю и в других областях теории чисел.

📚 Читайте также: