Теорема Ферма: Великая и Малая теоремы — формулировки, доказательства, история

Теорема Ферма — одна из самых известных теорем в истории математики. На этой странице вы найдете все о Великой теореме Ферма (Последней теореме Ферма) и Малой теореме Ферма: формулировки, доказательства для частных случаев, историю поиска решения и современные достижения.

великая теорема ферма: формулировка
история теоремы ферма: от ферма до уайлса
доказательство для случая n = 4
частные случаи: n = 3, 5, 7 и n < 100
малая теорема ферма: формулировка и доказательства

Великая теорема Ферма: формулировка

Великая теорема Ферма (также известная как Последняя теорема Ферма) была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта.

Формулировка теоремы

$X^{n} + Y^{n} = Z^{n}$

Утверждение: при n больше 2 уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ферма сделал следующую запись на полях книги:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Простота формулировки сделала эту теорему невероятно популярной — она понятна любому школьнику, но ее доказательство оставалось недоступным для лучших умов мира на протяжении более 350 лет.

Сведение к простым показателям

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случаи, когда n — простое число p больше 2, и случай n равное 4. Если теорема доказана для всех простых p и для n равное 4, то она автоматически верна для всех составных n.

История теоремы Ферма: от Ферма до Уайлса

Год	Математик	Достижение
1637	Пьер Ферма	Сформулировал теорему на полях «Арифметики» Диофанта
X век	ал-Ходжанди	Пытался доказать случай для третьей степени, но доказательство не сохранилось
~1659	Пьер Ферма	Опубликовал доказательство для четвертой степени (метод бесконечного спуска)
1770	Леонард Эйлер	Доказал теорему для случая третьей степени
1825	Дирихле и Лежандр	Независимо доказали для пятой степени
1839	Габриель Ламе	Доказал для седьмой степени
1847	Эрнст Куммер	Доказал для всех простых показателей меньше 100 (кроме 37, 59, 67)
1908	Вольфскель	Завещал 100 000 марок за доказательство
1986	Рибет	Доказал, что из гипотезы Таниямы–Симуры следует Великая теорема Ферма
1993	Эндрю Уайлс	Объявил о доказательстве (обнаружен пробел)
1994–1995	Уайлс и Тейлор	Устранили пробел, опубликовали окончательное доказательство

Эндрю Уайлс посвятил доказательству теоремы 7 лет напряженной работы в Принстонском университете. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в 1995 году в журнале «Annals of Mathematics».

«Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств».

Доказательство для случая n = 4

Случай четвертой степени был доказан самим Ферма с помощью метода бесконечного спуска. Это единственный случай, для которого Ферма оставил полное доказательство.

Теорема

Уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Идея доказательства (метод бесконечного спуска):

Предположим, что существует решение уравнения в натуральных числах.
Из этого решения можно построить другое решение с меньшими значениями переменных.
Повторяя этот процесс, мы получим бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Из отсутствия решений для одного уравнения следует отсутствие решений для другого.

Частные случаи: n = 3, 5, 7 и n < 100

Случай третьей степени

Доказан Леонардом Эйлером в 1770 году. Эйлер использовал метод бесконечного спуска и теорию чисел вида, включающего квадратный корень из минус трех.

Случай пятой степени

Доказан независимо Дирихле и Лежандром в 1825 году.

Случай седьмой степени

Доказан Габриелем Ламе в 1839 году.

Случай показателей меньше 100

Эрнст Куммер в 1847 году доказал теорему для всех простых показателей меньше 100, за исключением так называемых иррегулярных простых чисел 37, 59 и 67.

«Куммер показал, что теорема верна для всех простых показателей, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67».

Куммер ввел понятие идеальных чисел и заложил основы современной алгебраической теории чисел.

Малая теорема Ферма: формулировка и доказательства

Малая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма в 1640 году. В отличие от Великой теоремы, она была доказана еще при жизни Ферма и является фундаментальным результатом теории чисел.

Формулировка

Пусть p — простое число, a — целое число.

Эквивалентные формулировки:

$a^{p} \equiv a (mod p)$

$a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

Доказательство 1 (через бином Ньютона, индукция по a)

Это наиболее элементарное доказательство, доступное школьнику.

База индукции: при a равном 0 утверждение очевидно.

Шаг индукции: предположим, что утверждение верно для a. Докажем для следующего значения.

Все биномиальные коэффициенты при промежуточных значениях делятся на p. Поэтому:

Для отрицательных a достаточно заметить, что при нечетном p утверждение сохраняется, а при p равном 2 оно очевидно.

Доказательство 2 (через группу ненулевых вычетов)

Более абстрактное, но очень красивое доказательство.

Рассмотрим поле вычетов по модулю p. Ненулевые элементы этого поля образуют мультипликативную группу порядка p минус 1.

По теореме Лагранжа порядок элемента группы делит порядок группы. Для любого a, не делящегося на p, его порядок в этой группе делит порядок группы, следовательно:

Что и требовалось доказать.

Доказательство 3 (через систему вычетов)

Еще одно элементарное доказательство.

Рассмотрим числа a, 2a, 3a, …, произведение (p минус 1) на a. Они дают все ненулевые остатки по модулю p.

Перемножая их, получаем равенство произведений по модулю p.

Сокращая на факториал (p минус 1), получаем искомое утверждение.

Доказательство 4 (комбинаторное, Петерсен, 1872)

Оригинальное доказательство, использующее раскраску бусин.

Пусть имеется p предметов, расположенных по кругу, каждый из которых нужно раскрасить в один из a цветов. Число всех раскрасок равно a в степени p.

Одноцветных раскрасок — a. Остальные разбиваются на классы по p раскрасок (получаемых друг из друга поворотом).

Отсюда следует, что разность делится на p, то есть выполняется искомое сравнение.

Применения малой теоремы Ферма

Проверка чисел на простоту (тест Ферма)
Криптография (алгоритм RSA)
Вычисление обратных элементов по модулю
Решение сравнений высокой степени

Часто задаваемые вопросы о теоремах Ферма

В чем разница между Великой и Малой теоремой Ферма?

Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение с тремя переменными не имеет решений в натуральных числах при показателе больше 2. Малая теорема Ферма утверждает сравнение для простого p. Малая теорема была доказана при жизни Ферма, а Великая — только в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Доказал ли сам Ферма свою Великую теорему?

Скорее всего, нет. Ферма оставил запись на полях книги, что у него есть чудесное доказательство, но поля слишком узки. Однако он опубликовал доказательство только для частного случая четвертой степени. Большинство историков математики считают, что Ферма либо ошибался, либо имел доказательство для частного случая.

Кто и когда доказал Великую теорему Ферма?

Теорема была окончательно доказана Эндрю Уайлсом в 1994 году (опубликована в 1995). Доказательство основано на гипотезе Таниямы–Симуры и занимает около 130 страниц.

Какие частные случаи Великой теоремы Ферма были доказаны до Уайлса?

Третья степень (Эйлер, 1770), четвертая (сам Ферма), пятая (Дирихле и Лежандр, 1825), седьмая (Ламе, 1839), все простые показатели меньше 100 (Куммер, 1847). Также были доказаны все показатели до нескольких миллионов с помощью компьютерных вычислений.

Где применяется Малая теорема Ферма?

Малая теорема Ферма широко применяется в криптографии (алгоритм RSA), для проверки чисел на простоту (тест Ферма), для вычисления обратных элементов по модулю и в других областях теории чисел.

📚 Читайте также: