Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Треугольник

Типы треугольников

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

равнобедренный треугольник

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

равносторонний треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β, тогда a > b
  • если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

asinα = bsinβ = csinγ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 - 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 - 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 232mb2+mc2-ma2

b = 232ma2+mc2-mb2

c = 232ma2+mb2-mc2

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
    AOOD= BOOE=COOF=21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆ABD=S∆ACD

    S∆BEA=S∆BEC

    S∆CBF=S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

    S∆AOF=S∆AOE=S∆BOF=S∆BOD=S∆COD=S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 122b2+2c2-a2

mb = 122a2+2c2-b2

mc = 122a2+2b2-c2

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, - центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AEAB= ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

la = 2bcpp-ab+c

lb = 2acpp-ba+c

lc = 2abpp-ca+b

где p = a+b+c2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

la = 2bc cosα2b+c

lb = 2ac cosβ2a+c

lc = 2ab cosγ2a+b

Высоты треугольника

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

  1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  3. ha:hb:hc=1a:1b:1c= BC:AC:AB

  4. 1ha:1hb:1hc=1r

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

r = Sp

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

r = a+b-cb+c-ac+a-b4a+b+c

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

1r=1ha+1hb+1hc

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

  • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

R = abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

R = S2 sinα sinβ sinγ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

R =a2 sinα+b2 sinβ+c2 sinγ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

d2 = R2 - 2Rr

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

rR = 4sinα2 sinβ2 sinγ2 = cosα + cosβ + cosγ
2Rr =abca+b+c

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

  • Любой треугольник имеет три средних линии.
  • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
    MN= 12AC; KN= 12AB; KM= 12BC

    MN || AC; KN || AB; KM || BC
  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S∆MBN = 14S∆ABC; S∆MAK = 14S∆ABC; S∆NCK = 14S∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN ~ ∆ABC;
    ∆AMK ~ ∆ABC;
    ∆KNC ~ ∆ABC;
    ∆NKM ~ ∆ABC

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.


S = 12 a · ha ,
S = 12 b · hb ,
S = 12 c · hc ,

где a, b, c — стороны треугольника,
ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c.

S = pp-ap-bp-c,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.


S = 12 a · b · sinγ ,
S = 12 b · c · sinα ,
S = 12 a · c · sinβ ,

где a, b, c — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
α — угол между сторонами b и c,
β — угол между сторонами a и c.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности S = a · b · c4R ,

a, b, c — стороны треугольника,
R - радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S = p · r ,

где S — площадь треугольника,
r - радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2

Равенство треугольников

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Теорема.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.


∆АВС~∆MNK=> α=α1,β=β1,γ=γ1 и ABMN=BCNK=ACMK=k

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK=k2
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике