Метод Гаусса

Метод Гаусса — это алгоритм решения систем линейных уравнений, который заключается в последовательном приведении системы к ступенчатому виду (треугольному или трапециевидному) с помощью элементарных преобразований строк.

Основные шаги метода Гаусса:

1. Записать расширенную матрицу системы (коэффициенты уравнений + столбец свободных членов)
2. Привести матрицу к ступенчатому виду (прямой ход):
   • Выбрать ведущий элемент (первый ненулевой элемент в строке)
   • Обнулить элементы ниже ведущего, вычитая подходящие комбинации строк
   • Перейти к следующему столбцу и повторить
3. Обратный ход:
   • Начиная с последней строки, выразить базисные переменные через свободные (если есть)
   • Если система совместна, получить решение

Дана система:

1. Записываем расширенную матрицу:

2. Прямой ход (приведение к ступенчатому виду):

• Шаг 1: Если $a11=0$, меняем строки так, чтобы $a11\ne 0$
• Шаг 2: Обнуляем элементы под $a11$:
  • Вычитаем из строки (2) строку (1), умноженную на $\frac{a}{21}a11$
  • Аналогично для строк (3) и (4)
• Шаг 3: Переходим ко второму столбцу, повторяем процесс для подматрицы

После преобразований матрица примет вид:

3. Обратный ход:

• Из последнего уравнения находим $x4$
• Подставляем $x4$ в предпоследнее уравнение, находим $x3$
• И так далее, пока не найдем все переменные

Возможные случаи:

• Единственное решение: Все строки приведены к ступенчатому виду, нет противоречий
• Бесконечно много решений: В ступенчатом виде меньше ненулевых строк, чем переменных
• Нет решений: Появилась строка вида $0=b$ ($b\ne 0$)

Метод Гаусса универсален и применим к любым линейным системам!