Главная › Справочная информация › Теория по математике › Метод Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса — это алгоритм решения систем линейных уравнений, основанный на последовательном исключении неизвестных. На этой странице вы найдете пошаговое описание метода, примеры решения систем 3×3 и 4×4, а также разбор особых случаев (системы без решений и с бесконечным множеством решений).


Определение метода Гаусса

Метод Гаусса — это алгоритм решения систем линейных уравнений, который заключается в последовательном приведении системы к ступенчатому виду (треугольному или трапециевидному) с помощью элементарных преобразований строк.

Основные шаги метода Гаусса:

  1. Записать расширенную матрицу системы (коэффициенты уравнений + столбец свободных членов)
  2. Привести матрицу к ступенчатому виду (прямой ход):
    • Выбрать ведущий элемент (первый ненулевой элемент в строке)
    • Обнулить элементы ниже ведущего, вычитая подходящие комбинации строк
    • Перейти к следующему столбцу и повторить
  3. Обратный ход:
    • Начиная с последней строки, выразить базисные переменные через свободные (если есть)
    • Если система совместна, получить решение

Пример решения системы 3×3

Дана система:

{ 2x1+4x2-x3=5 3x1-2x2+2x3=8 x1+3x2-4x3=1 }

Шаг 1: Запишем расширенную матрицу:

( 24-1|5 3-22|8 13-4|1 )

Шаг 2: Приведем к ступенчатому виду:

( 12-12|52 0-872|12 00-258|-258 )

Шаг 3: Обратный ход:

{ x1=2 x2=1 x3=1 }

Пример системы 4×4

Дана система:

{ a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=b1(1) a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=b2(2) a31x1+a32x2+a33x3+a34x4=b3(3) a41x1+a42x2+a43x3+a44x4=b4(4) }

1. Записываем расширенную матрицу:

( a11a12a13a14|b1 a21a22a23a24|b2 a31a32a33a34|b3 a41a42a43a44|b4 )

2. Прямой ход (приведение к ступенчатому виду):

  • Шаг 1: Если первый элемент равен нулю, меняем строки так, чтобы он не был равен нулю
  • Шаг 2: Обнуляем элементы под ведущим:
    • Вычитаем из строки (2) строку (1), умноженную на подходящий коэффициент
    • Аналогично для строк (3) и (4)
  • Шаг 3: Переходим ко второму столбцу, повторяем процесс для подматрицы

После преобразований матрица примет вид:

( a11a12a13a14|b1 0a22′a23′a24′|b2′ 00a33″a34″|b3″ 000a44″′|b4″′ )

3. Обратный ход:

  • Из последнего уравнения находим последнюю переменную
  • Подставляем ее в предпоследнее уравнение, находим предыдущую переменную
  • И так далее, пока не найдем все переменные

Возможные случаи:

  • Единственное решение: Все строки приведены к ступенчатому виду, нет противоречий
  • Бесконечно много решений: В ступенчатом виде меньше ненулевых строк, чем переменных
  • Нет решений: Появилась строка вида ноль равно ненулевому числу

Метод Гаусса универсален и применим к любым линейным системам!

Особые случаи

Бесконечное множество решений

Если в процессе преобразований получается строка, где все коэффициенты равны нулю, а свободный член тоже равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений.

( 12-1|3 0112|52 000|0 )

Нет решений

Если получается строка, где все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, то система не имеет решений.

( 1-23|4 01-1|2 000|1 )

📚 Читайте также:

  • Коротко о важном
  • Таблицы
  • Формулы
  • Формулы по геометрии
  • Теория по математике
  1. Табличные значения синуса 30, 45, 60 градусов.
  2. Минимум по геометрии 8 класса. Модуль 1.
  3. Подготовка к контрольной работе по геометрии 8 класса.
  4. Теорема о вписанном угле.
  5. Сравнение скоростей снижения при прыжке с парашютом и прыжке из окна.
  1. Таблица умножения (от 1 до 10).
  2. Как быстро выучить таблицу умножения.
  3. Расширенная таблица умножения (от 1 до 20).
  4. Таблица квадратов (от 1 до 10).
  5. Таблица кубов (от 1 до 10).
  6. Таблица степеней (от 1 до 10).
  7. Таблица факториалов (от 1 до 10).
  8. Таблица Брадиса (с уточнениями).
  9. Как пользоваться таблицей Брадиса. Наглядная инструкция.
  10. Таблица синусов.
  11. Таблица косинусов.
  12. Таблица тангенсов.
  13. Таблица котангенсов.
  14. Таблица простых чисел.
  15. Таблица тригонометрических функций.
  16. Таблица значений функций.
  17. Таблица натуральных логарифмов.
  18. Таблица десятичных логарифмов.
  19. Таблица логарифмов по основанию.
  1. Формулы сокращённого умножения (2, 3, 4 и n-ой степеней).
  2. Формулы и свойства степеней.
  3. Формулы и свойства корней.
  4. Формулы и свойства логарифмов.
  5. Формулы и свойства арифметической прогрессии.
  6. Формулы и свойства геометрической прогрессии.
  7. Тригонометрические формулы.
  8. Обратные тригонометрические функции.
  1. Площади фигур.
  2. Объёмы фигур.
  3. Периметры фигур.
  4. Площади поверхностей фигур.
  5. Правильный многоугольник.
  6. Треугольник.
  7. Теорема Пифагора.
  1. Натуральные числа.
  2. Метод Гаусса.
  3. Теорема Виета.
  4. Великая теорема Ферма.
  5. Число и цифра.
  6. Делимость чисел.
  7. Десятичные числа.
  8. Классы чисел.
  9. НОД и НОК.
  10. Округление чисел.
  11. Простые и составные числа.
  12. Разряды чисел.