对数的公式与性质：EGE 和 OGE 完整速查表

对数：正数 b 以 a 为底（log_a b）是指需要将 a 乘方到的指数，以得到 b。

对数的例子：

${log}_{2}8=3$ (对数 $8$ 以 2), 因为 $2^3=8$

${log}_{7}49=2$ (对数 $49$ 以 7), 因为 $7^2=49$

${log}_5\frac{1}{5}=-1$ (对数 $\frac{1}{5}$ 以 5), 因为 $5^{-1}=\frac{1}{5}$

常用对数

常用对数——以 10 为底的对数。

$lgb$ — 常用对数

常用对数的例子：

$lg100=2$ — 100 的常用对数，因为 10² = 100。

$lg1000=3$, 因为 10³ = 1000。

👉 常用对数表.

自然对数

$lnb$ — 自然对数（以 e 为底的对数，$a=e$），其中 e ≈ 2.718。

例：ln(e²) = 2，因为 e² = e²。

重要提示：自然对数常用于高等数学、物理学和经济学。

👉 自然对数表.

基本对数恒等式

底数 a 的以 a 为底的对数次幂等于 b。

例： 例：2^log₂8 = 2³ = 8。

1 的对数

对数零。无论对数的底数是什么，如果自变量为 1，则对数始终为 0。

例： 例：log₅1 = 0，因为 5⁰ = 1。

等于底数的数的对数

对数单位。如果对数的自变量与底数相同，则对数的值等于 1。

例： 例：log₇7 = 1，因为 7¹ = 7。

底数的倒数的对数

如果对数的自变量是底数的倒数，则对数的值等于 -1。

例： 例：log₃(1/3) = -1，因为 3⁻¹ = 1/3。

两个正数乘积的对数

对数的和。在对数号下相乘的数，可以转化为两个同底对数之和。

例： 例：log₂(8·4) = log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5。

商的对数

商的对数。两数相除时，我们得到两个同底对数之差。

例： 例：log₂(8/4) = log₂8 - log₂4 = 3 - 2 = 1。

正数的幂的对数

正数的幂的对数等于指数与该数对数的乘积。

例： 例：log₂8³ = 3·log₂8 = 3·3 = 9。

数的根的对数

根的对数等于被开方数的对数除以根指数所得的商。

例： 例：log₅√25 = log₅25 / 2 = 2/2 = 1。

对数的底数乘方

例： 例：log₄64 = log₂64 / 2 = 6/2 = 3。

例： 例：log₂8 = log₄8² = log₄64 = 3。

换底公式

可以将一种底数的对数转换为另一种底数的对数。

例： 例：log₂8 = log₁₀8 / log₁₀2 ≈ 0.903 / 0.301 = 3。

对数的导数

对数函数的导数（以给定底数）等于 1 除以对数函数自变量与该底数自然对数的乘积。

例： 例：(log₂x)' = 1/(x·ln2)。

y = log₂ x