八年级几何基础：模块 1

四边形是由四个点及依序连接这四个点的四条线段所组成的图形。这四个点中任三点不共线，且连接它们的线段互不相交。这些点称为四边形的顶点，连接它们的线段称为四边形的边。

作为同一条边端点的顶点称为相邻顶点，不属于同一条边的顶点称为对顶点。共用一个顶点的边称为邻边，不共用顶点的边称为对边。连接对顶点的线段称为四边形的对角线。四边形将平面 q 分为两部分，形成两个区域：内部和外部。

如果四边形内部的所有点都位于由其任意一边所在直线所确定的同一半平面内，则该四边形称为凸四边形；如果这些点位于不同的半平面内，则该四边形称为非凸四边形（凹四边形）。

若连接凸四边形内部的任两点，所得线段完全位于四边形内部。凸四边形的对角线位于其内部。在非凸四边形中，其中一条对角线位于外部区域。凸四边形的每一条对角线都将其分割成两个三角形。

与凸四边形任内角相邻的角称为外角。在四边形的任一顶点处均可形成两个外角；这些是对顶角，彼此相等。因此，当我们提到四边形的外角时，指的是这两个角中的任一个。图中，与内角 α、β、γ 和 δ 对应，角 α′、β′、γ′ 和 δ′ 即为外角。

凸四边形的每个内角都小于 180°。

非凸四边形的内角大小可超过 180°。

凸四边形的内角和为 360°。

$\mathrm{\measuredangle A}+\mathrm{\measuredangle B}+\mathrm{\measuredangle C}+\mathrm{\measuredangle D}=\mathrm{360°}$

凸四边形的外角和

定理：凸四边形的外角和（在每个顶点取一个外角）为 360°。

边的性质

1. 四边形的每一条边都短于其余三条边之和。
2. 对角线之和小于周长。

平行四边形

平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。

平行四边形的性质

1. 平行四边形的对边相等。
2. 平行四边形的对角相等。
3. 平行四边形的对角线互相平分。: $\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$, $\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$
4. 对角线将平行四边形分成两个全等的三角形：三角形 ABC 与三角形 CDA 全等。
5. 邻角之和为 180°。
6. 由对角线形成的内错角相等。: $\mathrm{\measuredangle BAC}=\mathrm{\measuredangle ACD}$, $\mathrm{\measuredangle BCA}=\mathrm{\measuredangle CAD}$
7. 所有内角之和为 360°。
8. 角平分线从平行四边形中截出一个等腰三角形。
9. 平行四边形同一条边上的两个邻角的平分线互相垂直。
10. 平行四边形两对角的平分线互相平行。
11. 平行四边形的周长等于邻边和的兩倍。
12. 从钝角顶点作出的两条高线之间的夹角，等于该平行四边形的锐角。$\mathrm{\measuredangle MBN}=\mathrm{\measuredangle C}$

平行四边形的判定条件

1. 一组对边既相等又平行。
2. 两组对角分别相等。
3. 两组对边分别相等。
4. 所有对边两两平行。
5. 两条对角线互相平分。

矩形

矩形是所有内角均为 90°（即直角）的四边形。$\mathrm{\measuredangle ABC}=\mathrm{\measuredangle BCD}=\mathrm{\measuredangle BAD}=\mathrm{\measuredangle ADC}=\mathrm{90°}$

若平行四边形的一个角是直角，则该平行四边形为矩形。

矩形的性质

1. 矩形具备平行四边形的所有性质。
2. 所有内角均为直角。
3. 矩形的对角线长度相等。
4. 矩形的周长等于其相邻两边总和的兩倍。
5. 任意平行四边形各内角的角平分线相交所构成的图形是矩形。

判定矩形的条件

1. 若四边形有三个角是直角，则该四边形为矩形。
2. 若平行四边形的一个角是直角，则该平行四边形为矩形。
3. 若平行四边形的对角线相等，则该平行四边形为矩形。

菱形

菱形是所有边都相等的四边形。

菱形是邻边相等的平行四边形。

菱形的性质

1. 由于菱形是平行四边形，它具备平行四边形的所有性质。
2. 菱形的对角线互相垂直。: AC⊥BD.
3. 菱形的对角线平分其内角（即将菱形的角一分為二）。
4. 对角线将菱形分割成四个全等的直角三角形。三角形 ABO、CBO、CDO 和 ADO 是全等的直角三角形。
5. $P_{\mathrm{ABCD}}=4·\mathrm{AB}$
6. 菱形的高相等。

菱形的判定条件

1. 如果平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形是菱形。
2. 若平行四边形的邻边相等，则平行四边形为菱形。
3. 若平行四边形的对角线平分其内角，则平行四边形为菱形。
4. 如果四边形的四边都相等，则该四边形是菱形。

正方形

正方形是四个角都相等且四边都相等的四边形。

正方形是既有一个直角又有邻边相等的平行四边形。

正方形是邻边相等的矩形。

正方形是有一个直角的菱形。

正方形的性质

1. 正方形具备平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
2. 正方形的对角线将其分割成四个全等的等腰直角三角形。

正方形的判定条件

1. 如果矩形的邻边相等，则该矩形是正方形。
2. 如果矩形的对角线互相垂直，则该矩形是正方形。
3. 如果菱形的一个角是直角，则该菱形是正方形。
4. 如果菱形的对角线相等，则该菱形是正方形。

定义

三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段。每个三角形都有三条中位线。

中位线 DE、EF 和 DF。

性质

1. 

   三角形的中位线平行于三角形的一边，且长度等于该边长的一半。

   $\mathrm{DE}\parallel \mathrm{AC}$; $\mathrm{EF}=\frac{1}{2}\mathrm{АС}$
2. 

   三条中位线将三角形分割成四个全等的三角形：ADF、DBE、ECF 和 DEF。

3. 

   任意凸四边形的各边中点构成一个平行四边形的顶点。

4. 

   三角形的中位线构成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

   $P_{\mathrm{∆DEF}}=\frac{1}{2}·P_{\mathrm{∆ABC}}$