三角形

三角形——由三个不共线的点以及两两连接这些点的三条线段所组成的图形。这些点称为三角形的顶点，线段称为它的边。

三角形的类型
三角形的顶点、角与边
三角形的中线
三角形的角平分线
三角形的高
三角形的内切圆
三角形的外接圆
三角形内切圆与外接圆的联系
三角形的中位线
三角形的周长
三角形面积公式
三角形的全等
三角形的相似
直角三角形

三角形的类型

按角的大小

锐角三角形

——三角形的所有角都是锐角。

钝角三角形

——三角形的一个角是钝角（大于 90°）。

直角三角形

——三角形的一个角是直角（等于 90°）。

按相等边的数量

不等边三角形

——三条边都不相等。

等腰三角形

——两条边相等。

等边（正）三角形

——三条边都相等。

三角形的顶点、角与边

三角形角与边的性质

三角形的内角和等于 180°

α + β + γ = 180°

三角形中大边对大角，反之亦然。等边对等角

若 $α > β$ ，则 $a > b$
若 $α = β$ ，则 $a = b$

三角形任意两边之和大于第三边

a + b > c

b + c > a

c + a > b

正弦定理

三角形的各边与其所对角的正弦成比例。

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

余弦定理

三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的 2 倍。

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ

射影定理

对于锐角三角形：

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α;

c = a cos β + b cos α;

计算三角形边长的公式

通过中线求边的公式

a = \frac{2}{3} \sqrt{2 ({m_{b}}^{2} + {m_{c}}^{2}) - {m_{a}}^{2}}

b = \frac{2}{3} \sqrt{2 ({m_{a}}^{2} + {m_{c}}^{2}) - {m_{b}}^{2}}

c = \frac{2}{3} \sqrt{2 ({m_{a}}^{2} + {m_{b}}^{2}) - {m_{c}}^{2}}

三角形的中线

三角形的中线——三角形内部连接顶点与对边中点的线段。

三角形中线的性质

三角形的三条中线交于一点。三条中线的交点称为重心。
在交点处，三角形的中线按 2:1 的比例被分成两段
$\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OE} = \frac{CO}{OF} = \frac{2}{1}$
三角形的中线把三角形分成两个等面积的三角形

$S_{∆ABD} = S_{∆ACD}$

$S_{∆BEA} = S_{∆BEC}$

$S_{∆CBF} = S_{∆CAF}$
三角形的三条中线把三角形分成六个等面积的三角形

$S_{∆AOF} = S_{∆AOE} = S_{∆BOF} = S_{∆BOD} = S_{∆COD} = S_{∆COE}$
由构成中线的向量可以组成一个三角形

三角形中线的公式

通过各边求三角形中线的公式

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}

三角形的角平分线

角的平分线——以角的顶点为起点、将该角分成两个相等角的射线。

三角形角平分线的性质

三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等——即内切圆圆心。
三角形的角平分线把对边分成与邻边成比例的线段
$\frac{AE}{AB} = \frac{EC}{BC}$
三角形同一顶点处的内角平分线与外角平分线的夹角等于 90°

角 $l_{c}$ 与 ${l_{c}}^{'} = 90°$ 之间的夹角
若三角形中有两条角平分线相等，则该三角形是等腰三角形。

三角形角平分线的公式

通过各边求三角形角平分线的公式

l_{a} = \frac{2 \sqrt{b c p (p - a)}}{b + c}

l_{b} = \frac{2 \sqrt{a c p (p - b)}}{a + c}

l_{c} = \frac{2 \sqrt{a b p (p - c)}}{a + b}

其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ —— 三角形的半周长。

通过两边及夹角求三角形角平分线的公式

l_{a} = \frac{2 b c cos \frac{α}{2}}{b + c}

l_{b} = \frac{2 a c cos \frac{β}{2}}{a + c}

l_{c} = \frac{2 a b cos \frac{γ}{2}}{a + b}

三角形的高

三角形的高——从三角形的顶点向其所在直线上的对边所作的垂线。

根据三角形的类型，高可能在：

三角形内部——对于锐角三角形；
与它的一条边重合——对于直角三角形的一条直角边；
位于三角形外部——对于钝角三角形的锐角。

三角形高的性质

三角形的三条高交于一点，该点称为三角形的垂心。
若三角形中有两条高相等，则该三角形是等腰三角形。
$h_{a} : h_{b} : h_{c} = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = BC : AC : AB$
$\frac{1}{h_{a}} : \frac{1}{h_{b}} : \frac{1}{h_{c}} = \frac{1}{r}$

三角形高的公式

通过一边和角求三角形高的公式

h_{a} = b sin γ = c sin β

h_{b} = c sin α = a sin γ

h_{c} = a sin β = b sin α

通过一边和面积求三角形高的公式

h_{a} = \frac{2 S}{a}

h_{b} = \frac{2 S}{b}

h_{c} = \frac{2 S}{c}

通过两边及外接圆半径求三角形高的公式

h_{a} = \frac{b c}{2 R}

h_{b} = \frac{a c}{2 R}

h_{c} = \frac{a b}{2 R}

三角形的内切圆

若一个圆与三角形的三条边都相切，则称该圆为三角形的内切圆。

三角形内切圆的性质

三角形内切圆的圆心位于三角形内角平分线的交点处。
任何三角形都可以内切一个圆，且只有一个。

三角形内切圆半径的公式

三角形内切圆的半径等于三角形面积与其半周长的比值

r = \frac{S}{p}

通过三边求三角形内切圆半径

r = \frac{(a + b - c) (b + c - a) (c + a - b)}{4 (a + b + c)}

通过两边及外接圆半径求三角形高的公式

\frac{1}{r} = \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}} + \frac{1}{h_{c}}

三角形的外接圆

若一个圆经过三角形的所有顶点，则称该圆为三角形的外接圆。

三角形外接圆的性质

三角形外接圆的圆心位于三边垂直平分线的交点处。
任何三角形都可以外接一个圆，且只有一个。

角的性质

外接圆圆心位于锐角三角形内部、钝角三角形外部、直角三角形斜边的中点。

三角形外接圆半径的公式

通过三边和面积求外接圆半径

R = \frac{a b c}{4 S}

通过面积和三个角求外接圆半径

R = \frac{S}{2 sin α sin β sin γ}

通过一边及对角求外接圆半径（正弦定理）

R = \frac{a}{2 sin α} + \frac{b}{2 sin β} + \frac{c}{2 sin γ}

三角形内切圆与外接圆的联系

三角形外接圆半径的公式

若 d 为内切圆圆心与外接圆圆心之间的距离，则

d^{2} = R^{2} - 2 R r

通过面积和三个角求外接圆半径

\frac{r}{R} = 4 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2} = cos α + cos β + cos γ

2 R r = \frac{a b c}{a + b + c}

三角形的中位线

三角形的中位线——连接三角形两边中点的线段。

三角形中位线的性质

任何三角形都有三条中位线。
三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。
$MN = \frac{1}{2} AC$ ; $KN = \frac{1}{2} AB$ ; $KM = \frac{1}{2} BC$

$MN || AC$ ; $KN || AB$ ; $KM || BC$
中位线截出一个与原三角形相似的三角形，其面积等于原三角形面积的四分之一。
$S_{∆MBN} = \frac{1}{4} S_{∆ABC}$ ; $S_{∆MAK} = \frac{1}{4} S_{∆ABC}$ ; $S_{∆NCK} = \frac{1}{4} S_{∆ABC}$
三条中位线相交时，形成 4 个全等的三角形，它们与原三角形相似（甚至位似），相似系数为 1/2。
$∆MBN ~ ∆ABC$ ;
$∆AMK ~ ∆ABC$ ;
$∆KNC ~ ∆ABC$ ;
$∆NKM ~ ∆ABC$

判定

若一条线段平行于三角形的一边，并连接三角形一边的中点与该边所在直线上另一点，则该线段是中位线。

三角形的周长

三角形 ∆ABC 的周长等于它各边长度之和。

P = a + b + c

三角形面积公式

通过边和高求三角形面积公式

三角形的面积等于三角形一边长度与该边上的高之积的一半。

S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

S = \frac{1}{2} b \cdot h_{b}

S = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}

其中 a、b、c —— 三角形的三边，
h_a、h_b、h_c —— 三角形分别对应于边 a、b、c 的高。

通过三边求三角形面积公式

海伦公式——通过三角形三边长度 a、b、c 计算三角形面积 S 的公式。

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

其中 p —— 三角形的半周长： $p = \frac{a + b + c}{2}$
a、b、c —— 三角形的三边。

通过两边及夹角求三角形面积公式

三角形的面积等于其两边之积乘以它们夹角正弦的一半。

S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin γ

S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot sin α

S = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot sin β

其中 a、b、c —— 三角形的三边，
γ —— 边 a 与 b 之间的夹角，
α —— 边 b 与 c 之间的夹角，
β —— 边 a 与 c 之间的夹角。

通过三边及外接圆半径求三角形面积公式

S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}

a、b、c —— 三角形的三边，
R —— 外接圆的半径。

通过三边及内切圆半径求三角形面积公式

三角形的面积等于三角形半周长与内切圆半径的乘积。

S = p \cdot r

其中 S —— 三角形的面积，
r —— 内切圆的半径，
p —— 三角形的半周长： $p = \frac{a + b + c}{2}$

三角形的全等

定义

若两个三角形 ABC 与 A₁B₁C₁ 可以重合，则它们全等。

性质

全等三角形的对应元素相等。（在全等三角形中，等边对等角，等角对等边。）

三角形全等的判定

通过两边及其夹角

定理。

如果一个三角形的两条边及其夹角分别等于另一个三角形的两条边及其夹角，那么这两个三角形全等。

通过一边及其两邻角

定理。

如果一个三角形的一条边及其两个邻角分别等于另一个三角形的一条边及其两个邻角，那么这两个三角形全等。

通过三条边

定理。

如果一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边，那么这两个三角形全等。

三角形的相似

定义

相似三角形——对应角相等、且一个三角形各边分别与另一个三角形各边成比例的三角形。

∆АВС ~ ∆MNK => α = α_{1}

β = β_{1}

γ = γ_{1}

\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK} = k

其中 k —— 相似系数。

三角形相似的判定

如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，且这两边之间的夹角相等，那么这两个三角形相似。

性质

相似三角形面积之比等于相似系数的平方：

\frac{S_{∆АВС}}{S_{∆MNK}} = k^{2}

直角三角形

直角三角形——其中一个角是直角（即等于 90˚）的三角形。

直角三角形的性质

直角三角形两锐角之和等于 90°。
三角形内角和为 180°，直角为 90°，因此直角三角形两锐角之和为 $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$ 。
直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半（斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍长）。

考虑直角三角形 ABC，其中 ∠ A 是直角，∠ B = 30°，因此 ∠ C = 60°。

证明 BC=2AC。
如题图所示，在三角形 ABC 上叠加一个与它相等的三角形 ABD。
得到三角形 BCD，其中 ∠ B = ∠ D = 60°，因此 DC = BC。但 DC = 2AC。因此 BC = 2AC。

反之亦成立：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半（或斜边是这条直角边的 2 倍），那么这条直角边所对的角等于 30°。

直角三角形全等的判定

由于直角三角形中两直角边之间的夹角是直角，且任意两个直角都相等，因此由三角形全等的一般判定可以推出直角三角形自己的全等判定。

如果一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边，那么这两个三角形全等。
如果一个直角三角形的一条直角边及其相邻的锐角分别等于另一个直角三角形的一条直角边及其相邻的锐角，那么这两个三角形全等。
如果一个直角三角形的斜边和一个锐角分别等于另一个直角三角形的斜边和一个锐角，那么这两个三角形全等。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边分别等于另一个直角三角形的斜边和一条直角边，那么这两个三角形全等。

性质

相似三角形面积之比等于相似系数的平方：

\frac{S_{∆АВС}}{S_{∆MNK}} = k^{2}

另请参阅：勾股定理。

要点
表格
公式
几何公式
数学理论

三角形

三角形的类型

按角的大小

锐角三角形

钝角三角形

直角三角形

按相等边的数量

不等边三角形

等腰三角形

等边（正）三角形

三角形的顶点、角与边

三角形角与边的性质

三角形的内角和等于 180&deg;

三角形中大边对大角，反之亦然。等边对等角

三角形任意两边之和大于第三边

正弦定理

余弦定理

射影定理

计算三角形边长的公式

通过中线求边的公式

三角形的中线

三角形中线的性质

三角形中线的公式

通过各边求三角形中线的公式

三角形的角平分线

三角形角平分线的性质

三角形角平分线的公式

通过各边求三角形角平分线的公式

通过两边及夹角求三角形角平分线的公式

三角形的高

三角形高的性质

三角形高的公式

通过一边和角求三角形高的公式

通过一边和面积求三角形高的公式

通过两边及外接圆半径求三角形高的公式

三角形的内切圆

三角形内切圆的性质

三角形内切圆半径的公式

三角形内切圆的半径等于三角形面积与其半周长的比值

通过三边求三角形内切圆半径

通过两边及外接圆半径求三角形高的公式

三角形的外接圆

三角形外接圆的性质

角的性质

三角形外接圆半径的公式

通过三边和面积求外接圆半径

通过面积和三个角求外接圆半径

通过一边及对角求外接圆半径（正弦定理）

三角形内切圆与外接圆的联系

三角形外接圆半径的公式

通过面积和三个角求外接圆半径

三角形的中位线

三角形中位线的性质

判定

三角形的周长

三角形面积公式

通过边和高求三角形面积公式

通过三边求三角形面积公式

通过两边及夹角求三角形面积公式

通过三边及外接圆半径求三角形面积公式

通过三边及内切圆半径求三角形面积公式

三角形的全等

定义

性质

三角形全等的判定

通过两边及其夹角

通过一边及其两邻角

通过三条边

三角形的相似

定义

三角形相似的判定

性质

直角三角形

直角三角形的性质

直角三角形全等的判定

性质

三角形的内角和等于 180°