正多边形

正多边形的公式、特征与性质
正 n 边形的公式
正三角形
正四边形
正六边形
正八边形

正多边形的公式、特征与性质

多边形——由一条自身不相交的闭合折线所限定的平面部分。

多边形之间的区别在于边数和角数。

正多边形——所有边和所有角都相等的多边形。

正多边形的特征

如果满足以下条件，则多边形为正多边形：所有边和所有角都相等。

a_{1} = a_{2} = a_{3} = \dots = a_{n-1} = a_{n}

α_{1} = α_{2} = α_{3} = \dots = α_{n-1} = α_{n}

其中 a₁…a_n —— 正多边形各边的长度，
α₁…α_n —— 正多边形各边之间的内角。

正多边形的主要性质

所有边都相等： $a_{1} = a_{2} = a_{3} = \dots = a_{n-1} = a_{n}$
所有角都相等： $α_{1} = α_{2} = α_{3} = \dots = α_{n-1} = α_{n}$
内切圆圆心 O_в 与外接圆圆心 O_о 重合，共同构成多边形的中心 O。
n 边形的所有内角之和等于： $180° \cdot (n - 2)$
n 边形的所有外角之和等于 360°： $β_{1} + β_{2} + β_{3} + \dots + β_{n-1} + β_{n} = 360°$
n 边形的对角线数量 (D_n) 等于顶点数与从每个顶点出发的对角线数量的乘积的一半： $D_{n} = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$
任何多边形都可以内切一个圆，也可以外接一个圆；由这两个圆构成的圆环面积只取决于多边形边的长度： $S = \frac{π}{4} \cdot a^{2}$
各边之间角的所有角平分线都相等，并经过正多边形的中心 O。

正 n 边形的公式

正 n 边形边长的公式

正 n 边形边长通过内切圆半径的公式

a = 2 \cdot r \cdot tg \frac{180°}{n}

（以度为单位）,

a = 2 \cdot r \cdot tg \frac{π}{n}

（以弧度为单位）

正 n 边形边长通过外接圆半径的公式

a = 2 \cdot R \cdot sin \frac{180°}{n}

（以度为单位）,

a = 2 \cdot R \cdot sin \frac{π}{n}

（以弧度为单位）

正 n 边形内切圆半径的公式

n 边形内切圆半径通过边长的公式

r = a : (2 \cdot tg \frac{180°}{n})

（以度为单位）,

r = a : (2 \cdot tg \frac{π}{n})

（以弧度为单位）

正 n 边形外接圆半径的公式

n 边形外接圆半径通过边长的公式

R = a : (2 \cdot sin \frac{180°}{n})

（以度为单位）,

R = a : (2 \cdot sin \frac{π}{n})

（以弧度为单位）

正 n 边形面积的公式

n 边形面积通过边长的公式

S = \frac{n \cdot a^{2}}{4} \cdot ctg \frac{180°}{n}

n 边形面积通过内切圆半径的公式

S = n \cdot r^{2} \cdot tg \frac{180°}{n}

n 边形面积通过外接圆半径的公式

S = \frac{n \cdot R^{2}}{2} \cdot sin \frac{360°}{n}

正多边形周长的公式

正 n 边形周长的公式

正 n 边形的周长等于正 n 边形一条边的长度与其边数的乘积。

P = n \cdot a

确定正多边形各边之间角的公式

正 n 边形各边之间角的公式

α_{n} = \frac{n - 2}{n} \cdot 180°

正三角形

正三角形——有三条边的正多边形。正三角形的所有边都彼此相等，所有角也都相等，均为 60°。

正三角形的公式

正三角形边长通过内切圆半径的公式

正三角形的边长等于内切圆半径与根号 3 的乘积的 2 倍。

a = 2 \cdot r \cdot \sqrt{3}

正三角形边长通过外接圆半径的公式

正三角形的边长等于外接圆半径与根号 3 的乘积。

a = R \cdot \sqrt{3}

r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}

R = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{3}

正三角形面积通过边长的公式

S = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

正三角形面积通过内切圆半径的公式

S = r^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}

正三角形面积通过外接圆半径的公式

S = \frac{R^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}

正三角形各边之间的角

α_{1} = α_{2} = α_{3} = 60°

正四边形

正四边形——正方形。

正四边形的公式

正四边形边长通过内切圆半径的公式

正四边形的边长等于内切圆半径的 2 倍。

a = 2 \cdot r

正四边形边长通过外接圆半径的公式

正四边形的边长等于外接圆半径与根号 2 的乘积。

a = R \cdot \sqrt{2}

正四边形内切圆半径通过边长的公式

正四边形的内切圆半径等于四边形边长的一半。

r = \frac{a}{2}

正四边形外接圆半径通过边长的公式

正四边形的外接圆半径等于四边形边长与根号 2 的乘积的一半。

R = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}

正四边形面积通过边长的公式

正四边形的面积等于四边形边长的平方。

S = a^{2}

正四边形面积通过内切圆半径的公式

正四边形的面积等于四边形内切圆半径的 4 倍。

S = 4 \cdot r^{2}

正四边形面积通过外接圆半径的公式

正四边形的面积等于外接圆半径平方的 2 倍。

S = 2 \cdot R^{2}

正四边形各边之间的角

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = 90°

正六边形

正六边形——有三条边的正多边形。正六边形的所有边都彼此相等，所有角也都相等，均为 120°。

正六边形的公式

正六边形边长通过内切圆半径的公式

a = \frac{2 \cdot r \cdot \sqrt{3}}{3}

正六边形边长通过外接圆半径的公式

正六边形的边长等于外接圆的半径。

a = R

正六边形内切圆半径通过边长的公式

r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}

正六边形外接圆半径通过边长的公式

R = a

正六边形面积通过边长的公式

S = \frac{a^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2}

正六边形面积通过内切圆半径的公式

S = r^{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}

正六边形面积通过外接圆半径的公式

S = \frac{R^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2}

正六边形各边之间的角

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = α_{5} = α_{6} = 120°

正八边形

正八边形——有三条边的正多边形。正八边形的所有边都彼此相等，所有角也都相等，均为 135°。

正八边形的公式

正八边形边长通过内切圆半径的公式

a = 2 \cdot r \cdot (\sqrt{2} - 1)

正八边形边长通过外接圆半径的公式

a = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}

正八边形内切圆半径通过边长的公式

r = \frac{a \cdot (\sqrt{2} + 1)}{2}

正八边形外接圆半径通过边长的公式

R = \frac{a \cdot \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}}{2}

正八边形面积通过边长的公式

S = a^{2} \cdot 2 \cdot (\sqrt{2} + 1)

正八边形面积通过内切圆半径的公式

S = r^{2} \cdot 8 \cdot (\sqrt{2} - 1)

正八边形面积通过外接圆半径的公式

S = R^{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

正八边形各边之间的角

α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = α_{5} = α_{6} = α_{7} = α_{8} = 135°

要点
表格
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几何公式
数学理论