圆周角定理

• 连接点 O 和 A。圆的半径相等。这意味着三角形 ABO 是等腰三角形，且角 1 = 角 2。（在等腰三角形中，底角相等。）
• 角 AOC 是三角形 AOB 的外角。外角等于两个不相邻内角之和；因此，角 AOC 等于角 1 与角 2 之和。角 1 与角 2 相等。因此 ∠ 1 = ½ ∠ AOC。而角 AOC 是圆心角，其度数等于所对圆弧的度数。由此可知，角 1（即角 ABC）等于圆弧 AC 度数的一半：

我们证明：圆周角等于其所对圆弧度数的一半。

• 作射线 BO；这样形成了两个角（角 1 和角 2），每个角都有一边经过圆心。我们先前已证明圆周角等于其所对圆弧度数的一半。因此 ∠ 1 = ½ AD。角 2 也是一个圆周角，且其一边经过圆心。同样已证明该圆周角等于其所对圆弧度数的一半。∠ 2 = ½ DC。
• 现在，将角 1 和角 2 相加，以便得到角 ABC。∠ ABC = ∠ 1 + ∠ 2 = ½ AC。

我们再次证明了圆周角等于其所对弧度数的一半。

• 让我们作射线 BO。在第一种情形中，已证明若圆周角的一边经过圆心，则该角等于其所对弧度数的一半。因此 ∠ ABD = ½ AD。
• 另一边经过圆心的角——即角 CBD——也等于所对弧度数的一半。∠ CBD = ½ CD。
• 现在，若从较大的角 ABD 减去角 CBD，即可得到角 ABC。∠ ABC = ∠ ABD − ∠ CBD = ½ AD − ½ CD = ½ AC。