三角公式

三角公式是三角函数的常见数学表达式，对自变量的所有值都成立。

三角函数
基本三角公式
两角和与差的三角函数
二倍角的三角函数
三倍角公式
降幂公式
三角函数和差化积公式
三角函数积化和差公式
万能三角代换

三角函数

正弦

直角三角形中锐角 α 的正弦是对边与斜边之比

直角三角形中锐角 α 的正弦是对边与斜边之比。

sin α

余弦

直角三角形中锐角 α 的余弦是邻边与斜边之比。

直角三角形中锐角 α 的余弦是邻边与斜边之比。

cos α

正切

直角三角形中锐角 α 的正切是对边与邻边之比。

直角三角形中锐角 α 的正切是对边与邻边之比。

tg α = \frac{sin α}{cos α}

,

α \neq \frac{π}{2} + π n

,

n є Z

余切

直角三角形中锐角 α 的余切是邻边与对边之比。

直角三角形中锐角 α 的余切是邻边与对边之比。

ctg α = \frac{cos α}{sin α}

,

α \neq π + π n

,

n є Z

正割

正割是与余弦互为倒数的三角函数。

sec α = \frac{1}{cos α}

,

α \neq \frac{π}{2} + π n

,

n є Z

余割

余割是与正弦互为倒数的三角函数。

cosec α = \frac{1}{sin α}

,

α \neq π + π n

,

n є Z

基本三角公式

{sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1

tg α \cdot ctg α = 1

1 + {tg}^{2} α = \frac{1}{{cos}^{2} α}

1 + {ctg}^{2} α = \frac{1}{{sin}^{2} α}

两角和与差的三角函数

两角和的的正弦

sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β

两角差的正弦

sin (α - β) = sin α \cdot cos β - cos α \cdot sin β

两角和的余弦

cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β

两角差的余弦

cos (α - β) = cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β

两角和的正切

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

两角差的正切

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

两角和的余切

ctg (α + β) = \frac{ctg α \cdot ctg β - 1}{ctg β + ctg α}

两角差的余切

ctg (α - β) = \frac{ctg α \cdot ctg β + 1}{ctg β - ctg α}

二倍角的三角函数

二倍角的正弦

sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α

二倍角的余弦

cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α

二倍角的正切

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}

二倍角的余切

ctg 2 α = \frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α}

三倍角公式

三倍角的正弦

sin 3 α = 3 sin α - 4 {sin}^{3} α

三倍角的余弦

cos 3 α = 4 {cos}^{3} α - 3 cos α

三倍角的正切

tg 3 α = \frac{3 tg α - {tg}^{3} α}{1 - 3 {tg}^{2} α}

三倍角的余切

ctg 3 α = \frac{3 ctg α - {ctg}^{3} α}{1 - 3 {ctg}^{2} α}

降幂公式

{sin}^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

{cos}^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

{sin}^{3} α = \frac{3 sin α - sin 3 α}{4}

{cos}^{3} α = \frac{3 cos α + cos 3 α}{4}

三角函数和差化积公式

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}

sin α - sin β = 2 sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}

cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}

tg α + tg β = \frac{sin (α + β)}{cos α \cdot cos β}

tg α - tg β = \frac{sin (α - β)}{cos α \cdot cos β}

ctg α + ctg β = \frac{sin (α + β)}{sin α \cdot sin β}

ctg α - ctg β = \frac{sin (β - α)}{sin α \cdot sin β}

a sin α + b cos α = r sin (α + φ)

,

где

r^{2} = a^{2} + b^{2}

,

sin φ = \frac{b}{r}

,

tg φ = \frac{b}{a}

三角函数积化和差公式

sin α \cdot sin β = \frac{cos (α - β) - cos (α + β)}{2}

sin α \cdot cos β = \frac{sin (α + β) + sin (α - β)}{2}

cos α \cdot cos β = \frac{cos (α + β) + cos (α - β)}{2}

万能三角代换

sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}

cos α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}

tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}

ctg α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}}

要点
表格
公式
几何公式
数学理论