图形面积公式

формулы площадей фигур

几何图形的面积——几何图形的数量特征，表示该图形的大小（由该图形闭合轮廓所限定的表面积部分）。面积的大小等于其中所包含的单位正方形的个数。

三角形面积公式
正方形面积公式
矩形面积公式
平行四边形面积公式
菱形面积公式
梯形面积公式
筝形面积公式
任意凸四边形面积公式
圆面积公式
椭圆面积公式

三角形面积公式

三角形面积的基本公式

1. 已知边和高： S = ½ × a × h

2. 已知三边（海伦公式）： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中 p = (a+b+c)/2

3. 已知两边和夹角： S = ½ × a × b × sin(γ)

三角形面积公式

三角形面积公式——通过边和高

三角形面积公式——通过边和高

三角形的面积等于三角形一边的长度与该边上的高之积的一半。

S = \frac{1}{2} a \cdot h

,

其中 a —— 三角形的一条边，h —— 该边上的高。

三角形面积公式——通过三边

三角形面积公式——通过三边

海伦公式——通过三角形三边长度 a, b, c 计算三角形面积 S 的公式。

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

,

其中 p —— 三角形的半周长： $p = \frac{a + b + c}{2}$
a, b, c —— 三角形的三边。

三角形面积公式——通过两边和它们之间的夹角

三角形面积公式——通过两边和它们之间的夹角

三角形的面积等于其两边之积乘以它们夹角正弦的一半。

S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin γ

,

其中 a, b —— 三角形的两边，
γ —— 边 a 与 b 之间的夹角。

三角形面积公式——通过三边和外接圆半径

三角形面积公式——通过三边和外接圆半径

S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}

,

a, b, c —— 三角形的三边，
R —— 外接圆的半径。

对于直角三角形，各边满足勾股定理：a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。

三角形面积公式——通过三边和内切圆半径

三角形面积公式——通过三边和内切圆半径

三角形的面积等于三角形半周长与内切圆半径的乘积。

S = p \cdot r

,

其中 S —— 三角形的面积，
r —— 内切圆的半径，
p —— 三角形的半周长： $p = \frac{a + b + c}{2}$

正方形面积公式

爱因斯坦与<b>正方形面积公式</b>

Альберт Эйнштейн 从前，在某座城市里住着一位名叫阿尔伯特·爱因斯坦的科学家。他以在物理学和数学领域的发现而闻名，但有一天，他遇到了一个在他看来无法解决的难题。

有一天，阿尔伯特决定做一个实验来证明他的理论：正方形的面积等于其边长的平方。但无论他怎么努力，都找不到实现的方法。他做了很多实验，使用了各种方法和工具，但都是徒劳。

最后，他决定向他的科学家同事们求助。当他来到他们那里时，他们对他的请求感到惊讶。他们对他说，这是不可能的，因为正方形的面积无法用公式来表示。但阿尔伯特没有放弃。他继续寻找解决这个问题的办法。

有一天，当他坐在自己的办公室里时，他忽然灵光一现。他意识到，如果不用正方形的边长，而用它的对角线，就可以把正方形的面积表示成公式。终于，阿尔伯特找到了自己问题的答案。他创造了一个可以通过对角线计算正方形面积的公式。这是科学上的一次真正突破！

从那时起，阿尔伯特就以正方形面积公式的创造者而闻名。他的发现成为数学和物理学史上最重要的发现之一。

正方形面积公式

正方形面积公式——通过边长

正方形面积公式——通过边长

正方形的面积等于其边长的平方。

S = a^{2}

,

其中 S —— 正方形的面积，
a —— 正方形的边长。

正方形面积公式——通过对角线

正方形面积公式——通过对角线

正方形的面积等于其对角线平方的一半。

S = \frac{d^{2}}{2}

,

其中 S —— 正方形的面积，
d —— 正方形的对角线长度。

矩形面积公式

从前有一位记不住公式的科学家……

从前有一位名叫伊万·伊万诺维奇的科学家。他非常聪明、非常有才华，但有一个问题——他记不住公式。

有一天他需要计算矩形的面积，于是开始思考：「矩形的面积等于长乘以宽。」但每当他开始写公式时，思绪就散开了，忘记了自己想写什么。

于是伊万·伊万诺维奇决定去找他的朋友，一位数学天才。他问朋友怎样计算矩形的面积。朋友回答：「矩形的面积等于 2 倍的长乘以宽。」伊万·伊万诺维奇非常惊讶，因为他一直以为面积等于长乘以宽。但朋友向他解释说，如果我们把长加倍，就会得到双倍的面积；如果把宽加倍，就会得到三倍的面积。

从那时起，伊万·伊万诺维奇开始借助图形来记公式。他在纸上画一个矩形，然后把它分成两部分，并在第一个矩形内部再画一个矩形。接着他为每个矩形写出面积公式，再把它们组合起来。现在伊万·伊万诺维奇可以轻松地计算矩形的面积，也不会再忘记公式了。他明白，这不仅对他的学习有帮助，还让他变得更聪明、更机敏。

矩形面积公式

矩形的面积等于其两条相邻边长度的乘积。

S = a \cdot b

,

其中 S —— 矩形的面积，
a, b —— 矩形两边的长度。

平行四边形面积公式

平行四边形——对边互相平行的四边形。

平行四边形面积公式

平行四边形面积公式——通过边长和高

平行四边形面积公式——通过边长和高

平行四边形的面积等于其一边的长度与该边上的高的乘积。

S = a \cdot h

,

其中 S —— 平行四边形的面积，
a, h —— 平行四边形各边的长度。

平行四边形面积公式——通过两边和它们之间的夹角

平行四边形面积公式——通过两边和它们之间的夹角

平行四边形的面积等于其两边长度之积乘以它们夹角的正弦。

S = a \cdot b \cdot sin α

,

其中 S —— 平行四边形的面积，
a, b —— 平行四边形两边的长度，
α —— 平行四边形两边之间的夹角。

平行四边形面积公式——通过两条对角线和它们之间的夹角

平行四边形面积公式——通过两条对角线和它们之间的夹角

平行四边形的面积等于其两条对角线长度之积乘以它们夹角正弦的一半。

S = \frac{d1 \cdot d2 \cdot sin β}{2} = \frac{d1 \cdot d2 \cdot sin γ}{2}

,

其中 S —— 平行四边形的面积，
d1, d2 —— 平行四边形两条对角线的长度，
β、γ —— 平行四边形两对角线之间的夹角。

菱形面积公式

菱形面积公式

菱形面积公式——通过边长和高

菱形面积公式——通过边长和高

菱形的面积等于其一边的长度与该边上的高的乘积。

S = a \cdot h

,

其中 S —— 菱形的面积，
a —— 菱形的边长，
h —— 菱形的高。

菱形面积公式——通过边长和角

菱形面积公式——通过边长和角

菱形的面积等于其边长平方乘以两边夹角的正弦。

S = a^{2} \cdot sin α

,

其中 S —— 菱形的面积，
a —— 菱形的边长，
α —— 菱形两边之间的夹角。

菱形面积公式——通过两条对角线

菱形面积公式——通过两条对角线

菱形的面积等于其两条对角线长度乘积的一半。

S = \frac{d1 \cdot d2}{2}

,

其中 S —— 菱形的面积，
d1, d2 —— 菱形两条对角线的长度。

梯形面积公式

梯形——两条边 (a, b) 平行（底），另外两条边 (c, d) 不平行（腰）的四边形。

梯形面积公式

梯形的海伦公式

梯形的海伦公式

S = \frac{a + b}{| a - b |} \sqrt{(p - a) (p - b) (p - a - c) (p - a - d)}

,

其中 S —— 梯形的面积，
a, b —— 梯形两底的长度，
c, d —— 梯形两腰的长度，
$p = \frac{a + b + c + d}{2}$ —— 梯形的半周长。

梯形面积公式——通过底和高

梯形面积公式——通过底和高

梯形的面积等于两底和的一半乘以高。

S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

,

其中 S —— 梯形的面积，
a, b —— 梯形两底的长度，
h —— 梯形的高。

筝形面积公式

筝形——由两个不同的等腰三角形组成、具有公共底边、顶点位于该底边两侧的凸四边形。

筝形面积公式

筝形面积公式——通过两条不等边和它们之间的夹角

筝形面积公式——通过两条不等边和它们之间的夹角

筝形的面积等于两条不等边的长度乘积乘以它们夹角的正弦。

S = a \cdot b sin β

,

其中 S —— 筝形的面积，
a, b —— 筝形两条不等边的长度，
β —— 筝形两条不等边之间的夹角。

筝形面积公式——通过相等边和它们之间的夹角

筝形面积公式——通过相等边和它们之间的夹角

筝形的面积等于每对相等边与它们夹角正弦乘积之和的一半。

S = \frac{a^{2} sin γ + b^{2} sin α}{2}

,

其中 S —— 筝形的面积，
a, b —— 筝形各边的长度，
α —— 相等边 b 之间的夹角，
γ —— 相等边 a 之间的夹角。

筝形面积公式——通过两条不等边和内切圆半径

筝形面积公式——通过两条不等边和内切圆半径

筝形的面积等于两条不等边之和与内切圆半径的乘积。

S = (a + b) r

,

其中 S —— 筝形的面积，
a, b —— 筝形两条不等边的长度，
r —— 内切圆半径。

筝形面积公式——通过两条对角线

筝形面积公式——通过两条对角线

筝形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。

S = \frac{d1 \cdot d2}{2}

,

其中 S —— 筝形的面积，
d1, d2 —— 筝形的对角线。

任意凸四边形面积公式

凸四边形面积公式

任意凸四边形面积公式——通过对角线长度和它们之间的夹角

任意凸四边形面积公式——通过对角线长度和它们之间的夹角

任意凸四边形的面积等于其两条对角线乘积乘以它们夹角正弦的一半。

S = \frac{d1 \cdot d2 \cdot sin γ}{2}

,

其中 S —— 四边形的面积，
d1, d2 —— 四边形的对角线，
γ —— 两对角线之间的任意一个角。

任意凸四边形面积公式——通过边长和相对角的值

任意凸四边形面积公式——通过边长和相对角的值

S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot {cos}^{2} θ}

,

其中 S —— 四边形的面积，
a, b, c, d —— 四边形各边的长度，
$p = \frac{a + b + c + d}{2}$ —— 四边形的半周长，
$θ = \frac{α + β}{2}$ —— 四边形两个相对角的和的一半。

圆内接四边形面积公式（婆罗摩笈多公式）

圆内接四边形面积公式（婆罗摩笈多公式）

如果四边形可以外接一个圆，则其面积等于

S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}

,

其中 S —— 四边形的面积，
a, b, c, d —— 四边形各边的长度，
$p = \frac{a + b + c + d}{2}$ —— 四边形的半周长。

具有内切圆的四边形面积公式

具有内切圆的四边形面积公式

如果四边形可以内切一个圆，则其面积等于：

S = p \cdot r

,

其中 S —— 四边形的面积，
r —— 内切圆的半径，
$p = \frac{a + b + c + d}{2}$ —— 四边形的半周长。

同时具有内切圆和外接圆的四边形面积公式

同时具有内切圆和外接圆的四边形面积公式

如果四边形可以内切一个圆，同时也可以外接一个圆，则其面积等于：

S = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}

,

其中 S —— 四边形的面积，
a, b, c, d —— 四边形各边的长度。

圆的面积公式

圆的面积公式

圆的面积公式——通过半径

圆的面积等于半径的平方乘以 π。

圆的面积公式——通过半径

S = π r^{2}

,

其中 S —— 圆的面积，
r —— 圆的半径。

圆的面积公式——通过直径

圆的面积公式——通过直径

圆的面积等于直径的平方乘以 π 的四分之一。

S = \frac{π d^{2}}{4}

,

其中 S —— 圆的面积，
d —— 圆的直径。

圆弓形的面积

圆弓形的面积

圆弓形的面积——通过以度表示的角。

S = \frac{R^{2}}{2} \cdot (\frac{π \cdot α°}{180°} - sin α)

,

其中 S —— 圆弓形的面积，
R —— 圆的半径，
α° —— 以度表示的角。

圆弓形的面积——通过以弧度表示的角。

S = \frac{R^{2}}{2} \cdot (α_{рад.} - sin α)

,

其中 S —— 圆弓形的面积，
R —— 圆的半径，
α° —— 以弧度表示的角。

椭圆面积公式

椭圆面积公式

椭圆的面积等于椭圆长半轴与短半轴的长度乘积乘以 π。

S = π \cdot a \cdot b

,

其中 S —— 椭圆的面积，
a —— 椭圆长半轴的长度，
b —— 椭圆短半轴的长度。

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