勾股定理：公式、证明及带解答的例题

为了证明勾股定理，我们考虑一个直角边为 a、b、斜边为 c 的直角三角形。

将边长为 a、b、c 的直角三角形补成一个正方形，方法如下：将长度为 a 的直角边延长距离 b。

从所得线段 a+b 的端点作长度为 a 的垂线。

连接点 A 与 A'，即可得到原来的三角形，只是翻转了。

其他各边也按同样方法补全，得到一个边长为 a+b 的正方形。

我们知道：

• 边长为 a+b 的正方形面积等于边长的平方 (a+b)。
• 正方形由四个全等的直角三角形和一个内部图形——正方形组成。每个直角三角形的面积等于其两直角边乘积的一半。
• 内部图形——正方形，边长为 c。
  我们证明内部图形是正方形。
  该图形各边都相等——所以它是菱形。如果能证明它的一个角是直角，那么其他各角都是直角。
  由直角三角形的性质可知，直角三角形的两锐角之和为 90°。
  $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{90°}$
  由于所示三角形都全等，因此 $\mathrm{\measuredangle 2\text{'}}=\mathrm{\measuredangle 2"}$，且 $\mathrm{\measuredangle 1\text{'}}+\mathrm{\measuredangle 2"}=\mathrm{90°}$
  由此可得 $\mathrm{180°}-\left(\mathrm{\measuredangle 1\text{'}},+,\mathrm{\measuredangle 2"}\right)=\mathrm{90°}$——这就是内部图形——菱形边之间的夹角。
  在我们的情形中，已经证明了该菱形是正方形。

把上述内容转换为公式，我们得到：

展开和的平方公式：

约去 2ab：

我们得到：

我们证明了勾股定理。

表述

如果三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形为直角三角形，且直角位于最长边所对的顶点处。

如果三角形的三边为 a、b 和 c（其中 c 为最长边），且满足以下等式：

则该三角形为直角三角形，边 a 与 b 之间的夹角为 90°。

例：判断三角形是否为直角三角形

已知：
三边分别为 6、7 和 9 的三角形。

解：
最长边为 9。检验等式是否成立：

$9^2=81$

$6^2+7^2=36+49=85$

由于 $81\ne 85$，等式不成立。

答：三边为 6、7 和 9 的三角形不是直角三角形。

埃及三角形

已知：
直角边分别为 3 和 4 的直角三角形。

求它的斜边。

解：
将斜边记为 c，应用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方：
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$25=c^2$
$c=5$

答：两直角边为 3 和 4 的直角三角形的斜边等于 5。

三边分别为 3、4 和 5 的直角三角形称为埃及三角形。

毕达哥拉斯数

已知：
斜边等于 13，其中一条直角边等于 12。

求另一条直角边。

解：
将另一条直角边记为 a，再次应用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方：
${12}^2+a^2={13}^2$
$144+a^2=169$
$a^2=169-144$
$a^2=25$
$a=5$

答：斜边为 13、一条直角边为 12 的直角三角形的另一条直角边 a 等于 5。

注意，在第一个和第二个例题中，三角形的各边都是整数。满足勾股定理的这类整数称为毕达哥拉斯数。

求斜边

已知：
两直角边分别为 6 和 8 的直角三角形。

求斜边。

解：
将斜边记为 c，应用勾股定理：
$6^2+8^2=c^2$
$36+64=c^2$
$100=c^2$
$c=10$

答：斜边等于 10。

求直角边

已知：
斜边为 10、一条直角边为 6 的直角三角形。

求另一条直角边。

解：
将另一条直角边记为 b，应用勾股定理：
$b^2+6^2={10}^2$
$b^2+36=100$
$b^2=100-36$
$b^2=64$
$b=8$

答：另一条直角边等于 8。

等腰梯形

已知：
等腰梯形。上底等于 4，腰等于 10，下底等于 20。

求梯形的面积 S。

解：

用点 A、B、C、D 表示梯形的各顶点。从点 B 和 C 分别向边 AD 作垂线，垂足为 E 和 K。

考虑四边形 BCKE。该四边形是矩形。边 BC 与 EK 互相平行，边 BE 与 CK 也互相平行，且四边形 BCKE 的一个角为 90°。这证明四边形 BCKE 是矩形。

矩形的对边相等。如果线段 BC 等于 4，那么 EK 也等于 4。

由于该梯形是等腰梯形，左、右两个三角形全等，因为它们的直角边相等、斜边也相等。按直角三角形全等的判定，它们全等。这意味着线段 AE 与 KD 相等。

线段 AD 等于 20，线段 EK 等于 4。因此，线段（AE+KD）剩余长度为 $20-4=16$。因此每条线段等于 8。

考虑其中任意一个三角形，例如 ABE。它是直角三角形。一条直角边等于 8，斜边等于 10。

按勾股定理可以求出 BE。两直角边的平方和等于斜边的平方：
${\mathrm{BE}}^2+8^2={10}^2$
${\mathrm{BE}}^2+64=100$
${\mathrm{BE}}^2=100-64$
${\mathrm{BE}}^2=36$
$\mathrm{BE}=6$
这样我们就求出了梯形的高。

现在可以求出梯形的面积 S。
梯形的面积等于两底之和的一半乘以梯形的高。

答：梯形的面积 S 等于 72。

屋顶椽条系统的计算

这道题对于精确计算屋顶椽条系统而言极为简化，但足以清楚地说明按勾股定理计算的原则。

已知：
墙檐木（M）与卧梁（L）（它们都位于墙上）之间的距离已知，等于 5 米。
屋顶覆以金属瓦，其最小推荐倾角为 22.5°。
立柱（h）严格垂直于卧梁（L）。

求椽条的长度（g）和立柱的高度（h）。

解：

要求立柱（h）的高度，可应用正弦定理。为此，需要求出已知边所对的角。已知三角形内角和为 180°，求出已知边 ML 所对的角：
$\mathrm{180°}-\mathrm{90°}-\mathrm{22,5°}=\mathrm{67,5°}$

现在把已知值代入按正弦定理求立柱（h）高度的公式：
$\frac{sin\mathrm{22,5°}}{h}=\frac{sin\mathrm{67,5°}}{\mathrm{ML}}$

$h=\frac{5·sin\mathrm{22,5°}}{sin\mathrm{67,5°}}=2.0710678118655$

按正弦定理也可以求出长度（g），但我们感兴趣的是勾股定理。

因此，已知斜边的平方（在我们的例子中是 g）等于两直角边的平方和（在我们的例子中是 h 与点 ML 之间的距离），我们得到：

把前面算出的和已知的值代入公式，得到：

$g=5.411961001462$

答：所得数值以米为单位。在建筑中，这类构件四舍五入到毫米已经足够精确。因此，把椽条 g 和立柱 h 的值四舍五入后得到：

$g\approx 5412$мм

$h\approx 2071$мм

埃及三角形

勾股定理在建筑中实际应用的另一个例子是使用埃及三角形。

要在平面上确定 90° 角，需要取一根绳子，在绳上量出三段距离：3、4、5。线段用什么单位并不重要，也许这些单位由你自己发明。

把绳子按图中的方式围成一个三角形，并绷紧所得三角形的各边。

边 3、4 之间的夹角始终等于 90°。可以用它来给未来房屋的墙或地基放线。