Несобственный интеграл (1+arcsin(1/x))/(1+x√x) от 1 до ∞

Q: Как подобрать функцию сравнения g(x)?

Нужно найти главные члены числителя и знаменателя при x → +∞ (или при приближении к особой точке). В нашем случае в числителе главный член — константа 1 + π/2 (arcsin(1/x) ограничен), а в знаменателе — x^(3/2) (так как x√x = x^(3/2) растёт быстрее 1). Значит, g(x) = 1/x^(3/2).

Q: Что такое эталонный интеграл ∫₁⁺∞ dx/xᵅ?

Это несобственный интеграл 1-го рода, сходимость которого зависит от α. При α > 1 он сходится (значение 1/(α−1)), при α ≤ 1 расходится. Этот интеграл используется как эталон: если исследуемый интеграл эквивалентен ему, вывод о сходимости переносится автоматически.

В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл 1-го рода с бесконечным верхним пределом.

Условие

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1 + arcsin (1 / x)}{1 + x \sqrt{x}} d x$

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция f(x) = (1+arcsin(1/x))/(1+x√x) непрерывна на [1, +∞), так как arcsin(1/x) определён при x ≥ 1, а знаменатель положителен. Значит, интеграл — несобственный 1-го рода. Для исследования сходимости применим признак сравнения в предельной форме.

Почему выбран именно признак сравнения?

Подынтегральная функция — сложная комбинация арксинуса и корня, первообразная которой не выражается через элементарные функции. Прямое вычисление интеграла невозможно. Однако при x → +∞ функция ведёт себя как степенная, что позволяет подобрать более простую функцию сравнения g(x) и применить предельный признак сравнения. Этот признак работает, когда lim f(x)/g(x) конечен и отличен от нуля.

Шаг 2

Оценим числитель сверху. Поскольку arcsin(1/x) при x ≥ 1 принимает значения в [0, π/2], имеем 1 + arcsin(1/x) ≤ 1 + π/2. Тогда:

| f (x) | = \frac{| 1 + arcsin (1 / x) |}{1 + x \sqrt{x}} \leq \frac{1 + \frac{π}{2}}{1 + x \sqrt{x}} \leq \frac{1 + \frac{π}{2}}{x \sqrt{x}}

Шаг 3

Отсюда видно, что f(x) = O(1/x^(3/2)) при x → +∞. Возьмём в качестве функции сравнения g(x) = 1/x^(3/2).

g (x) = \frac{1}{x^{3 / 2}}

Шаг 4

Интеграл от функции сравнения:

Почему интеграл от g(x) сходится?

Интеграл ∫₁⁺∞ dx/xᵅ сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Это эталонный несобственный интеграл 1-го рода. В нашем случае α = 3/2 > 1, поэтому интеграл сходится.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{α}}

Здесь α = 3/2 > 1, значит, интеграл сходится.

Шаг 5

По признаку сравнения (в форме оценки сверху): если 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x) при x ≥ a и интеграл ∫ g(x) dx сходится, то интеграл ∫ f(x) dx также сходится. В нашем случае f(x) ≤ (1+π/2)·(1/x^(3/2)), а интеграл от 1/x^(3/2) сходится.

α = \frac{3}{2} > 1

Ответ

Сходится.

Частые вопросы

Как исследовать несобственный интеграл на сходимость?

Основной метод — признак сравнения. Нужно подобрать более простую функцию g(x), эквивалентную f(x) при x → +∞ (или при x → a при особой точке внутри отрезка). Если lim f(x)/g(x) = c, где 0 < c < ∞, то интегралы ∫ f и ∫ g сходятся или расходятся одновременно.

Как подобрать функцию сравнения g(x)?