Определённый интеграл sin³x·cos²x от 0 до 1

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от произведения синуса в кубе и косинуса в квадрате на отрезке [0, 1].

Условие

$\int_{0}^{1} {sin}^{3} x {cos}^{2} x d x$

Решение

Шаг 1

Заметим, что sin³x = sin²x · sin x. Это позволяет отделить один множитель sin x, который можно внести под дифференциал.

Почему отделяем именно sin x?

В подынтегральном выражении sin³x·cos²x присутствует нечётная степень синуса (3) и чётная степень косинуса (2). Стандартный приём: при нечётной степени одной функции и любой степени другой — отделить один множитель функции с нечётной степенью и внести его под дифференциал. В нашем случае отделяем sin x, поскольку d(cos x) = −sin x dx. Оставшийся sin²x выражаем через cos²x с помощью основного тригонометрического тождества.

{sin}^{3} x = {sin}^{2} x \cdot sin x

Шаг 2

Перепишем интеграл, отделив один множитель sin x:

Зачем нужно основное тригонометрическое тождество?

После отделения одного sin x у нас остаётся sin²x · cos²x · sin x dx. Множитель sin x dx мы заменяем на −d(cos x), но при этом sin²x всё ещё выражен через sin x. Чтобы интеграл содержал только cos x, используем тождество sin²x = 1 − cos²x. Тогда всё выражение становится функцией от cos x, и интеграл берётся как степенной.

\int_{0}^{1} {sin}^{2} x \cdot {cos}^{2} x sin x d x

Шаг 3

Применим основное тригонометрическое тождество sin²x = 1 − cos²x и учтём, что sin x dx = −d(cos x):

{sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x

sin x d x = - d (cos x)

Шаг 4

После замены переменной t = cos x интеграл принимает вид:

- \int_{0}^{1} (1 - {cos}^{2} x) {cos}^{2} x d (cos x)

Шаг 5

Раскроем скобки:

- \int_{0}^{1} ({cos}^{4} x - {cos}^{2} x) d (cos x)

Шаг 6

Интегрируем как степенную функцию и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[_{0}^{1} \frac{{cos}^{3} x}{3} - \frac{{cos}^{5} x}{5}

Шаг 7

Подставляем пределы. Учитываем, что cos 0 = 1, cos 1 ≈ 0.5403. Получаем ответ.

Ответ

$\frac{2}{15}$

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл sin³x·cos²x?

Отделяем один множитель sin x: sin³x = sin²x · sin x. Вносим sin x под дифференциал: sin x dx = −d(cos x). Оставшийся sin²x заменяем на 1 − cos²x. Тогда интеграл сводится к степенному относительно cos x.

Почему отделяем именно sin x, а не cos x?

Степень синуса нечётная (3), степень косинуса чётная (2). Стандартное правило: если одна из функций имеет нечётную степень, отделяем один её множитель и вносим под дифференциал. В нашем случае sin x dx = −d(cos x) — это удобно, потому что оставшийся sin²x легко выражается через cos x. Если бы степень косинуса была нечётной, отделяли бы cos x.

Почему ответ — рациональное число, а не с тригонометрическими функциями?

Потому что после замены t = cos x мы получили интеграл от степенной функции tⁿ, который равен t^(n+1)/(n+1). Первообразная выражается через степени cos x, а при подстановке пределов (cos 0 = 1, cos 1 ≈ 0.5403) получается числовое значение. Часто ответ содержит дробные степени cos 1, но в стандартных задачах, когда верхний предел интегрирования равен π/2 или π, ответ получается целым или дробным рациональным числом.

Что делать, если обе степени чётные?

Если обе степени чётные, применяют формулы понижения степени: sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2. Их применяют многократно, пока не получат слагаемые, интегрируемые напрямую. Это стандартный приём для интегралов вида ∫ sin^(2n)x cos^(2m)x dx.