Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = x² sin x³

Первообразная для f(x) = x² sin x³

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x² sin x³, удовлетворяющую условию F(0) = 1/2.

Условие

f ( x ) = x2 sin x3 , F ( 0 ) = 12

Решение

Шаг 1

Заметим, что производная от x³ равна 3x². Следовательно, d(x³) = 3x² dx. Это позволяет внести множитель x² под знак дифференциала.

d ( x3 ) = 3 x2 d x

Шаг 2

Перепишем исходный интеграл, выделив множитель 1/3:

∫ x2 sin x3 d x = 13 ∫ sin ( x3 ) d ( x3 )

Шаг 3

Выполним замену переменной t = x³. Тогда интеграл принимает табличный вид:

13 ∫ sin t d t = − 13 cos t + C

Шаг 4

Возвращаемся к переменной x:

F ( x ) = − 13 cos x3 + C

Шаг 5

Теперь найдём постоянную C из начального условия F(0) = 1/2. Подставим x = 0:

− 13 cos 0 + C = 12

Шаг 6

Отсюда получаем C = 5/6. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

F ( x ) = − 13 cos x3 + 56

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = x² sin x³?

Использовать метод замены переменной. Замечаем, что d(x³) = 3x² dx, поэтому интеграл можно переписать в виде (1/3) ∫ sin(x³) d(x³). Затем выполняется замена t = x³, интеграл сводится к табличному ∫ sin t dt.

Зачем нужна постоянная C и как её найти?

Постоянная C возникает при неопределённом интегрировании, поскольку производная константы равна нулю. Её значение находится из начального условия — например, F(0) = 1/2. Для этого подставляем x = 0 в выражение для F(x) и решаем уравнение относительно C.

Почему в этой задаче удобна замена t = x³?

Замена t = x³ превращает сложный интеграл ∫ x² sin x³ dx в табличный ∫ sin t dt. Без замены этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Именно наличие множителя x², пропорционального производной от x³, делает такую замену возможной.

В чём разница между первообразной и неопределённым интегралом?

Неопределённый интеграл — это семейство всех первообразных: ∫ f(x) dx = F(x) + C. Первообразная с конкретным значением C — одна функция из этого семейства. В задаче требуется найти именно конкретную первообразную, удовлетворяющую начальному условию.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  1. Первообразная для f(x) = x² sin x³.
  2. Первообразная для f(x) = cos³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e^(3x).