从 1 到 ∞ 的 (1+arcsin(1/x))/(1+x√x) 广义积分

需要找出当 x → +∞ 时（或接近奇点时）分子和分母的主项。本题中分子的主项是常数 1 + π/2（arcsin(1/x) 有界），分母的主项是 x^(3/2)（因为 x√x = x^(3/2) 比 1 增长更快）。因此 g(x) = 1/x^(3/2)。

这是第一类广义积分，其敛散性取决于 α。当 α > 1 时收敛（值为 1/(α−1)），当 α ≤ 1 时发散。该积分作为基准：若所研究的积分与之等价，则敛散性结论自动成立。

本题要求研究上限为无穷的第一类广义积分的敛散性。

题目

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1 + arcsin (1 / x)}{1 + x \sqrt{x}} d x$

被积函数 f(x) = (1+arcsin(1/x))/(1+x√x) 在 [1, +∞) 上连续，因为 arcsin(1/x) 在 x ≥ 1 时有定义，且分母为正。因此该积分是第一类广义积分。为研究敛散性，应用极限形式的比较判别法。

为什么选择比较判别法？

被积函数是反正弦与根号的复杂组合，其原函数不能用初等函数表示。直接计算积分是不可能的。但当 x → +∞ 时，该函数表现为幂函数形式，因此可以选取更简单的比较函数 g(x) 并应用极限比较判别法。该判别法在 lim f(x)/g(x) 有限且非零时成立。

对分子进行上方估计。由于当 x ≥ 1 时 arcsin(1/x) 取值于 [0, π/2]，因此 1 + arcsin(1/x) ≤ 1 + π/2。于是：

| f (x) | = \frac{| 1 + arcsin (1 / x) |}{1 + x \sqrt{x}} \leq \frac{1 + \frac{π}{2}}{1 + x \sqrt{x}} \leq \frac{1 + \frac{π}{2}}{x \sqrt{x}}

由此可见，当 x → +∞ 时 f(x) = O(1/x^(3/2))。取比较函数 g(x) = 1/x^(3/2)。

g (x) = \frac{1}{x^{3 / 2}}

比较函数的积分：

为什么 g(x) 的积分收敛？

积分 ∫₁⁺∞ dx/xᵅ 在 α > 1 时收敛，在 α ≤ 1 时发散。这是第一类广义积分的基准积分。本题中 α = 3/2 > 1，因此积分收敛。

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{α}}

此处 α = 3/2 > 1，因此积分收敛。

根据比较判别法（上方估计形式）：如果当 x ≥ a 时 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x)，且积分 ∫ g(x) dx 收敛，则积分 ∫ f(x) dx 也收敛。本题中 f(x) ≤ (1+π/2)·(1/x^(3/2))，而 1/x^(3/2) 的积分收敛。

α = \frac{3}{2} > 1

收敛。

常见问题

如何研究广义积分的敛散性？

主要方法是比较判别法。需要选取更简单的函数 g(x)，使其在 x → +∞ 时（或在区间内奇点处 x → a 时）与 f(x) 等价。若 lim f(x)/g(x) = c，其中 0 < c < ∞，则积分 ∫ f 与 ∫ g 同时收敛或同时发散。

如何选取比较函数 g(x)？

需要找出当 x → +∞ 时（或接近奇点时）分子和分母的主项。本题中分子的主项是常数 1 + π/2（arcsin(1/x) 有界），分母的主项是 x^(3/2)（因为 x√x = x^(3/2) 比 1 增长更快）。因此 g(x) = 1/x^(3/2)。

什么是基准积分 ∫₁⁺∞ dx/xᵅ？

这是第一类广义积分，其敛散性取决于 α。当 α > 1 时收敛（值为 1/(α−1)），当 α ≤ 1 时发散。该积分作为基准：若所研究的积分与之等价，则敛散性结论自动成立。

为什么本题不能直接计算积分？

被积函数含有 arcsin(1/x) 和 x√x。此类组合的原函数不能用初等函数表示。因此唯一的方法是使用比较判别法研究敛散性，这正是本题解答所做的工作。