Первообразная для f(x) = x · e^(3x)
В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x · e^(3x), удовлетворяющую условию F(0) = 0.
Условие
Решение
Шаг 1
Применим метод интегрирования по частям:
Шаг 2
Выберем u = x (тогда du = dx) и dv = e^(3x) dx (тогда v = e^(3x)/3):
Шаг 3
Подставим в формулу интегрирования по частям:
Шаг 4
Вычислим оставшийся интеграл и получим общее выражение для первообразной:
Шаг 5
Найдём постоянную C из условия F(0) = 0. Подставим x = 0: e⁰ = 1, поэтому:
Шаг 6
Отсюда C = 1/9. Искомая первообразная имеет вид:
Ответ
Частые вопросы
Как найти первообразную для f(x) = x · e^(3x)?
Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = x (полином понижается при дифференцировании) и dv = e^(3x) dx (легко интегрируется).
Почему в этой задаче выбирают u = x?
При интегрировании по частям обычно берут u = полином (в данном случае x) и dv = экспонента. После дифференцирования x превращается в 1, и оставшийся интеграл становится табличным: ∫ e^(3x) dx.
Почему v = e^(3x)/3, а не e^(3x)?
Потому что при интегрировании ∫ e^(3x) dx получается e^(3x)/3. Проверка: производная от e^(3x)/3 равна e^(3x) · 3/3 = e^(3x). Множитель 1/3 появляется из-за коэффициента при x в показателе.
В каких случаях применяют интегрирование по частям?
Когда подынтегральное выражение представляет собой произведение разных типов функций: полином × экспонента, полином × тригонометрическая, экспонента × тригонометрическая, логарифм, обратная тригонометрическая. Классический признак — интеграл не берётся напрямую, но упрощается после применения формулы ∫ u dv = uv − ∫ v du.
- Первообразная и интеграл
- Определённый интеграл
- Несобственные интегралы
- Двойные интегралы
- Тройные интегралы
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Элементы теории поля
