Определённый интеграл 1/(x²−4x+13) от 2 до 5

Q: Что делать, если знаменатель не имеет действительных корней?

Нужно выделить полный квадрат: x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4). Если q − p²/4 > 0, то получится сумма квадрата и положительного числа, и интеграл сводится к табличному ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C.

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции, знаменатель которой не имеет действительных корней.

Условие

$\int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2} - 4 x + 13} d x$

Решение

Шаг 1

Выделим полный квадрат в знаменателе:

Зачем выделять полный квадрат?

Квадратный трёхчлен x² − 4x + 13 имеет отрицательный дискриминант: D = 16 − 52 = −36 < 0. Значит, он не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители. В таком случае единственный способ интегрирования — выделить полный квадрат и свести интеграл к табличному ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C.

x^{2} - 4 x + 13 = {(x - 2)}^{2} + 9 = {(x - 2)}^{2} + 3^{2}

Шаг 2

Сделаем замену u = x − 2. Тогда du = d(x − 2) = dx, а интеграл сводится к табличному виду:

Как перейти к табличному интегралу?

Табличный интеграл имеет вид ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C. После выделения полного квадрата наш знаменатель имеет форму u² + 3², где u = x − 2, a = 3. Поэтому делаем замену u = x − 2 и получаем табличный интеграл.

\int_{2}^{5} \frac{d (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} + 3^{2}}

Шаг 3

Применяем табличную формулу:

\frac{1}{3} [_{2}^{5} arctg \frac{x - 2}{3}

Шаг 4

Подставляем пределы интегрирования. Заметим, что arctg 1 = π/4, arctg 0 = 0:

\frac{1}{3} (arctg 1 - arctg 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{12}

Ответ

$\frac{π}{12}$

Частые вопросы

Что делать, если знаменатель не имеет действительных корней?

Нужно выделить полный квадрат: x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4). Если q − p²/4 > 0, то получится сумма квадрата и положительного числа, и интеграл сводится к табличному ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C.

Почему появляется арктангенс?

Потому что производная арктангенса равна 1/(1 + x²). После замены u/a = t получаем интеграл вида ∫ dt/(1 + t²) = arctg t + C. Это стандартный табличный интеграл.

Как выделить полный квадрат в x²−4x+13?

Берём коэффициент при x (−4), делим на 2, получаем −2. Квадрат этого числа равен 4. Тогда x² − 4x + 13 = (x² − 4x + 4) − 4 + 13 = (x − 2)² + 9. Проверка: раскрывая (x − 2)² + 9, получаем x² − 4x + 4 + 9 = x² − 4x + 13.

Почему ответ содержит π?

Потому что arctg 1 = π/4, а arctg 0 = 0. После подстановки пределов интегрирования получаем (1/3)·(π/4 − 0) = π/12. Это типичный результат для интегралов с арктангенсом, у которых верхний предел даёт arctg 1.